Thai O-NET Tests - คณิตศาสตร์ - 2021 ข้อ 5

ลองมาแก้โจทย์นี้ด้วยหลักการนับแบบเวนน์-ออยเลอร์:

1. จำนวนรวมของนักกีฬาที่ได้เหรียญแต่ละประเภท: 37 + 13 + 19 = 69 คน
2. จำนวนนักกีฬาที่ได้เหรียญทั้งหมด: 46 คน
3. นักกีฬาที่ได้เหรียญทั้ง 3 ประเภท: 3 คน
4. ให้ x คือจำนวนนักกีฬาที่ได้เหรียญ 2 ประเภท

สมการ: 69 - x - 3(3) = 46

• 69 - x - 9 = 46
• -x = 46 - 69 + 9
• -x = -14
• x = 17

ดังนั้น มีนักกีฬา 17 คนที่ได้เหรียญจากสองประเภทกีฬา

{"correct_answer_key":"c"}

I need to solve this problem about athletes winning medals in three sports.

Given:

• 37 athletes won medals in running
• 13 athletes won medals in swimming
• 19 athletes won medals in cycling
• Total of 46 athletes won medals
• 3 athletes won medals in all three sports

I need to find how many athletes won medals in exactly two sports.

Let's use set theory. If we add all athletes from each sport: 37 + 13 + 19 = 69 But the total is only 46, meaning some athletes are counted multiple times.

Let's denote:

• A = athletes who won medals in exactly one sport
• B = athletes who won medals in exactly two sports
• C = athletes who won medals in all three sports (given as 3)

We know that A + B + C = 46, and C = 3, so A + B = 43.

Also, the total count of 69 represents each athlete counted once for each sport they won a medal in. So:

• Athletes in A are counted once (1×A)
• Athletes in B are counted twice (2×B)
• Athletes in C are counted three times (3×C)

This gives us: 1×A + 2×B + 3×C = 69

Substituting A = 43 - B and C = 3: 1×(43 - B) + 2×B + 3×3 = 69 43 - B + 2B + 9 = 69 43 + B + 9 = 69 B = 69 - 43 - 9 = 17

Therefore, 17 athletes won medals in exactly two sports.

{"correct_answer_key":"c"}

This Thai problem is about athletes receiving medals in three sports at Ban Kong Kang School:

• 37 athletes received medals in running
• 13 athletes received medals in swimming
• 19 athletes received medals in cycling
• 46 total athletes received medals
• 3 athletes received medals in all three sports

To find how many athletes received medals in exactly two sports, I'll use the inclusion-exclusion principle:

Total athletes with medals in at least one of the pairs (running+swimming, running+cycling, swimming+cycling) = 37+13+19-46+3 = 26

Since this counts the 3 athletes who won medals in all sports three times each, I need to subtract: 26-9 = 17

Therefore, 17 athletes received medals in exactly two sports.

{"correct_answer_key":"c"}

Let me solve this step-by-step using the principle of inclusion-exclusion.

Given information:

• 37 athletes won medals in running
• 13 athletes won medals in swimming
• 19 athletes won medals in cycling
• Total of 46 athletes won medals
• 3 athletes won medals in all three sports

Let me denote:

• R = running, S = swimming, C = cycling
• |R| = 37, |S| = 13, |C| = 19
• |R ∪ S ∪ C| = 46
• |R ∩ S ∩ C| = 3

Using the inclusion-exclusion principle: |R ∪ S ∪ C| = |R| + |S| + |C| - |R ∩ S| - |R ∩ C| - |S ∩ C| + |R ∩ S ∩ C|

46 = 37 + 13 + 19 - |R ∩ S| - |R ∩ C| - |S ∩ C| + 3 46 = 72 - (|R ∩ S| + |R ∩ C| + |S ∩ C|) |R ∩ S| + |R ∩ C| + |S ∩ C| = 26

Now, the athletes who won medals in exactly two sports are those in the pairwise intersections minus those in all three:

• Athletes in exactly R and S = |R ∩ S| - 3
• Athletes in exactly R and C = |R ∩ C| - 3
• Athletes in exactly S and C = |S ∩ C| - 3

Total with exactly two sports = (|R ∩ S| + |R ∩ C| + |S ∩ C|) - 3×3 = 26 - 9 = 17

{"correct_answer_key": "c"}

Looking at this set theory problem about athletes winning medals in three sports:

Given information:

• 37 athletes won medals in running
• 13 athletes won medals in swimming
• 19 athletes won medals in cycling
• 46 total athletes won medals
• 3 athletes won medals in all three sports

Let me define:

• Athletes winning only one sport: a + b + c
• Athletes winning exactly two sports: d + e + f
• Athletes winning all three sports: 3

Setting up equations:

• Total athletes: a + b + c + d + e + f + 3 = 46
• Running medals: a + d + e + 3 = 37
• Swimming medals: b + d + f + 3 = 13
• Cycling medals: c + e + f + 3 = 19

Adding the sport equations: (a + b + c) + 2(d + e + f) + 9 = 69

Since total athletes = 46: (a + b + c) + (d + e + f) = 43

Solving these two equations:

• Let x = (a + b + c) and y = (d + e + f)
• x + y = 43
• x + 2y = 60
• Therefore: y = 17

So 17 athletes won medals in exactly two sports.

{"correct_answer_key":"c"}

Let me solve this step-by-step using set theory.

Given information:

• 37 athletes won medals in running
• 13 athletes won medals in swimming
• 19 athletes won medals in cycling
• Total athletes who won medals: 46
• Athletes who won medals in all 3 sports: 3
• Need to find: athletes who won medals in exactly 2 sports

Using the inclusion-exclusion principle: |A ∪ B ∪ C| = |A| + |B| + |C| - |A ∩ B| - |A ∩ C| - |B ∩ C| + |A ∩ B ∩ C|

Where:

• |A ∪ B ∪ C| = 46 (total athletes)
• |A| = 37 (running), |B| = 13 (swimming), |C| = 19 (cycling)
• |A ∩ B ∩ C| = 3 (all three sports)

Substituting: 46 = 37 + 13 + 19 - |A ∩ B| - |A ∩ C| - |B ∩ C| + 3 46 = 69 - (|A ∩ B| + |A ∩ C| + |B ∩ C|) + 3 46 = 72 - (|A ∩ B| + |A ∩ C| + |B ∩ C|) |A ∩ B| + |A ∩ C| + |B ∩ C| = 26

This represents all athletes who won medals in at least 2 sports (including those who won all 3).

Athletes who won exactly 2 sports = 26 - 3×3 = 26 - 9 = 17

(We subtract 3×3 because the 3 athletes who won all sports are counted 3 times in the sum of pairwise intersections)

{"correct_answer_key":"c"}

ใช้หลักการ Inclusion-Exclusion Principle:

กำหนดให้:

• นักกีฬาวิ่ง = 37 คน
• นักกีฬาว่ายน้ำ = 13 คน
• นักกีฬาปั่นจักรยาน = 19 คน
• นักกีฬาที่ได้เหรียญทั้งหมด = 46 คน
• นักกีฬาที่ได้เหรียญทั้ง 3 ประเภท = 3 คน

ใช้สูตร: ทั้งหมด = วิ่ง + ว่ายน้ำ + ปั่นจักรยาน - (คู่ทั้งหมด) + ทั้ง 3 ประเภท

46 = 37 + 13 + 19 - (คู่ทั้งหมด) + 3 46 = 72 - (คู่ทั้งหมด) คู่ทั้งหมด = 26

นักกีฬาที่ได้เหรียญเพียง 2 ประเภท = คู่ทั้งหมด - (3 × นักกีฬาที่ได้ทั้ง 3 ประเภท) = 26 - (3 × 3) = 26 - 9 = 17 คน

{"correct_answer_key":"c"}

To solve this problem, we can use the principle of inclusion-exclusion. Let's denote:

• ( V ) as the number of athletes who won in running.
• ( S ) as the number of athletes who won in swimming.
• ( B ) as the number of athletes who won in cycling.
• ( x ) as the number of athletes who won in exactly two sports.
• ( y ) as the number of athletes who won in all three sports.

From the problem:

• ( V = 37 )
• ( S = 13 )
• ( B = 19 )
• Total athletes who won at least one medal = 46
• Athletes who won in all three sports = 3

Using the inclusion-exclusion principle: [ V + S + B - (x + 3 \times 3) + 3 = 46 ] [ 37 + 13 + 19 - (x + 9) + 3 = 46 ] [ 69 - x - 6 = 46 ] [ 63 - x = 46 ] [ x = 17 ]

Thus, the number of athletes who won medals from exactly two sports is 17.

{"correct_answer_key":"c"}

Explanation:

This problem involves calculating the number of athletes who won medals in exactly two sports using the principle of inclusion-exclusion. Here's the breakdown:

Given:

• Running (R): 37 athletes
• Swimming (S): 13 athletes
• Cycling (C): 19 athletes
• Total unique athletes who won at least one medal: 46
• Athletes who won medals in all three sports (R ∩ S ∩ C): 3

Find:

• Athletes who won medals in exactly two sports (R∩S + S∩C + R∩C - 3(R∩S∩C))*

Steps:

1. Apply the inclusion-exclusion principle for three sets: [ |R \cup S \cup C| = |R| + |S| + |C| - |R \cap S| - |S \cap C| - |R \cap C| + |R \cap S \cap C| ] Plugging in the known values: [ 46 = 37 + 13 + 19 - (|R \cap S| + |S \cap C| + |R \cap C|) + 3 ] [ 46 = 69 - (|R \cap S| + |S \cap C| + |R \cap C|) + 3 ] [ 46 = 72 - (|R \cap S| + |S \cap C| + |R \cap C|) ] [ |R \cap S| + |S \cap C| + |R \cap C| = 72 - 46 = 26 ]

2. Calculate athletes who won medals in exactly two sports:

   • The sum of intersections (26) includes those who won in all three sports (3) three times (once in each pair).
   • To find only those who won in exactly two sports, subtract the triple-counted athletes: [ \text{Athletes in exactly two sports} = (|R \cap S| + |S \cap C| + |R \cap C|) - 3 \times |R \cap S \cap C| ] [ = 26 - 3 \times 3 = 26 - 9 = 17 ]

Answer:

The number of athletes who won medals in exactly two sports is 17, which corresponds to option C.

Final Answer in JSON:

{"correct_answer_key":"c"}

The problem uses the principle of inclusion-exclusion for three sets. Let:

• ( A = 37 ) (running), ( B = 13 ) (swimming), ( C = 19 ) (cycling).
• Total athletes (( T )) = 46.
• Athletes in all three sports (( c )) = 3.
• Let ( b ) = athletes in exactly two sports.

Using the formula for total athletes:
[ T = (A + B + C) - (\text{sum of pairwise overlaps}) + (\text{all three overlaps}), ] but overlaps include duplicates. Instead, calculate:

1. Total counts in all sports: ( A + B + C = 37 + 13 + 19 = 69 ).
2. This counts athletes in exactly two sports twice and those in all three sports three times:
   [ 69 = a + 2b + 3c \quad \text{(where ( a )=athletes in exactly one sport)}. ]
3. Total athletes equation:
   [ a + b + c = 46 \quad \Rightarrow \quad a + b = 43 \quad (\text{since } c=3). ]
4. Substitute ( a = 43 - b ) into the first equation:
   [ 69 = (43 - b) + 2b + 9 \quad \Rightarrow \quad 69 = 52 + b \quad \Rightarrow \quad b = 17. ]

Thus, 17 athletes won medals in exactly two sports.

{"correct_answer_key":"c"}

This question is in Thai and asks about the number of athletes who won medals in exactly two sports in a school competition involving running, swimming, and cycling. Here's the breakdown:

• Running (R): 37 medals
• Swimming (S): 13 medals
• Cycling (C): 19 medals
• Total Medals Awarded: 46
• Athletes with medals in all three (R∩S∩C): 3

We can use the Principle of Inclusion-Exclusion to solve this. The formula for three sets is:

|R ∪ S ∪ C| = |R| + |S| + |C| - |R∩S| - |R∩C| - |S∩C| + |R∩S∩C|

Let's denote the number of athletes with medals in exactly two sports as "Two Sports Only". We know the total number of medals awarded (|R ∪ S ∪ C|) is 46, and we're given the individual sport medal counts. We want to find the sum of |R∩S|, |R∩C|, and |S∩C|, but excluding those who won all three. So, we're looking for:

(|R∩S| - |R∩S∩C|) + (|R∩C| - |R∩S∩C|) + (|S∩C| - |R∩S∩C|) which simplifies to |R∩S| + |R∩C| + |S∩C| - 3*|R∩S∩C|

Plugging in the known values:

46 = 37 + 13 + 19 - (|R∩S| + |R∩C| + |S∩C|) + 3

46 = 72 - (|R∩S| + |R∩C| + |S∩C|)

|R∩S| + |R∩C| + |S∩C| = 72 - 46 + 3 = 26 + 3 = 29

Since this includes the athletes who won all three sports three times (once for each pair of sports), we subtract 3 * |R∩S∩C| = 3 * 3 = 9 to find those who won exactly two:

Two Sports Only = 29 - 2*3 = 29 - 6 = 23

Therefore, 23 athletes won medals in exactly two sports.

{"correct_answer_key": "e"}

Let V be the set of athletes who won medals in running, W be the set of athletes who won medals in swimming, and B be the set of athletes who won medals in cycling. We are given:

• |V| = 37
• |W| = 13
• |B| = 19
• |V ∪ W ∪ B| = 46
• |V ∩ W ∩ B| = 3

We want to find the number of athletes who won medals in exactly two sports. Let's denote this as X.

Using the Principle of Inclusion-Exclusion:

|V ∪ W ∪ B| = |V| + |W| + |B| - |V ∩ W| - |V ∩ B| - |W ∩ B| + |V ∩ W ∩ B|

46 = 37 + 13 + 19 - |V ∩ W| - |V ∩ B| - |W ∩ B| + 3

46 = 72 - |V ∩ W| - |V ∩ B| - |W ∩ B| + 3

|V ∩ W| + |V ∩ B| + |W ∩ B| = 72 + 3 - 46 = 29

Now, let A = |V ∩ W|, B = |V ∩ B|, and C = |W ∩ B|. Each of these intersections includes the 3 athletes who won medals in all three sports. Let A', B', and C' be the number of athletes who won medals in only those two sports. Then:

A = A' + 3 B = B' + 3 C = C' + 3

So, A + B + C = A' + B' + C' + 9

We know A + B + C = 29, so:

29 = A' + B' + C' + 9

A' + B' + C' = 29 - 9 = 20

However, the question asks for the number of athletes who won medals in exactly two sports. The calculation above gives us 20. There seems to be an error in my calculation or the problem statement. Let's re-examine.

The correct equation is: 46 = 37 + 13 + 19 - (number of athletes with medals in exactly 2 sports) - 2 * (number of athletes with medals in 3 sports) 46 = 69 - (number of athletes with medals in exactly 2 sports) - 2 * 3 46 = 69 - (number of athletes with medals in exactly 2 sports) - 6 46 = 63 - (number of athletes with medals in exactly 2 sports) (number of athletes with medals in exactly 2 sports) = 63 - 46 = 17

Therefore, the number of athletes who won medals in exactly two sports is 17.

{"correct_answer_key":"c"}

Here's the breakdown to solve this problem:

1. Total medals from each sport: 37 (running) + 13 (swimming) + 19 (cycling) = 69 medals
2. Total athletes with medals: 46 athletes
3. Athletes with medals in all three sports: 3 athletes
4. Medals accounted for by athletes in all three sports: 3 athletes * 3 medals/athlete = 9 medals
5. Medals from only one or two sports: 69 total medals - 9 medals (from all three sports) = 60 medals
6. Athletes who got medals in only one sport: Let's call this 'x'.
7. Athletes who got medals in two sports: Let's call this 'y'.
8. Equation 1: x + y + 3 = 46 (total athletes)
9. Equation 2: x + 2y + 3*3 = 69 (total medals)
10. Simplify Equation 2: x + 2y + 9 = 69 => x + 2y = 60
11. Simplify Equation 1: x + y = 43
12. Subtract Equation 1 from Equation 2: (x + 2y) - (x + y) = 60 - 43 => y = 17

Therefore, 17 athletes received medals in exactly two sports.

{"correct_answer_key":"c"}

คำอธิบาย: โจทย์ถามเกี่ยวกับจำนวนนักกีฬาที่ได้รับเหรียญรางวัลจากการแข่งขันกีฬาสามประเภท ได้แก่ วิ่ง ว่ายน้ำ และปั่นจักรยาน โดยมีข้อมูลดังนี้:

• จำนวนนักกีฬาที่ได้เหรียญวิ่ง: 37 คน
• จำนวนนักกีฬาที่ได้เหรียญว่ายน้ำ: 13 คน
• จำนวนนักกีฬาที่ได้เหรียญปั่นจักรยาน: 19 คน
• จำนวนนักกีฬาที่ได้รับเหรียญรางวัลทั้งหมด: 46 คน
• จำนวนนักกีฬาที่ได้เหรียญรางวัลจากทั้งสามประเภท: 3 คน

เราต้องการหาจำนวนนักกีฬาที่ได้รับเหรียญรางวัลจากสองประเภทกีฬาเท่านั้น

ให้ R แทนเซตของนักกีฬาที่ได้เหรียญวิ่ง, S แทนเซตของนักกีฬาที่ได้เหรียญว่ายน้ำ, และ C แทนเซตของนักกีฬาที่ได้เหรียญปั่นจักรยาน จากข้อมูลโจทย์: |R| = 37 |S| = 13 |C| = 19 |R ∪ S ∪ C| = 46 |R ∩ S ∩ C| = 3

จากหลักการ Inclusion-Exclusion สำหรับสามเซต: |R ∪ S ∪ C| = |R| + |S| + |C| - (|R ∩ S| + |R ∩ C| + |S ∩ C|) + |R ∩ S ∩ C| แทนค่าที่ทราบ: 46 = 37 + 13 + 19 - (|R ∩ S| + |R ∩ C| + |S ∩ C|) + 3 46 = 69 - (|R ∩ S| + |R ∩ C| + |S ∩ C|) + 3 46 = 72 - (|R ∩ S| + |R ∩ C| + |S ∩ C|)

หาค่า (|R ∩ S| + |R ∩ C| + |S ∩ C|): |R ∩ S| + |R ∩ C| + |S ∩ C| = 72 - 46 |R ∩ S| + |R ∩ C| + |S ∩ C| = 26

จำนวนนักกีฬาที่ได้เหรียญจากสองประเภทกีฬาเท่านั้น คำนวณได้จาก: (จำนวนนักกีฬาที่ได้เหรียญจาก R และ S) + (จำนวนนักกีฬาที่ได้เหรียญจาก R และ C) + (จำนวนนักกีฬาที่ได้เหรียญจาก S และ C) ลบด้วย 3 เท่าของ (จำนวนนักกีฬาที่ได้เหรียญจากทั้งสามประเภท) เนื่องจาก (|R ∩ S| + |R ∩ C| + |S ∩ C|) คือจำนวนนักกีฬาที่ได้เหรียญจากอย่างน้อยสองประเภท ซึ่งรวมถึงคนที่ได้สามประเภทด้วย ดังนั้นเราต้องลบส่วนที่ได้สามประเภทออกไปเพื่อให้เหลือแค่สองประเภทเท่านั้น

จำนวนนักกีฬาที่ได้เหรียญจากสองประเภทกีฬาเท่านั้น = (|R ∩ S| - |R ∩ S ∩ C|) + (|R ∩ C| - |R ∩ S ∩ C|) + (|S ∩ C| - |R ∩ S ∩ C|) = (|R ∩ S| + |R ∩ C| + |S ∩ C|) - 3 * |R ∩ S ∩ C| = 26 - 3 * 3 = 26 - 9 = 17

ดังนั้น มีนักกีฬา 17 คนที่ได้เหรียญจากสองประเภทกีฬาเท่านั้น

{"correct_answer_key":"c"}

โจทย์เป็นปัญหาเกี่ยวกับจำนวนนักกีฬาที่ได้เหรียญรางวัลจากกีฬาสามประเภท เราสามารถใช้หลักการการรวมและการหักออก (Inclusion-Exclusion Principle) ในการคำนวณได้

กำหนดให้:

• W = เซตของนักกีฬาที่ได้เหรียญวิ่ง, |W| = 37
• S = เซตของนักกีฬาที่ได้เหรียญว่ายน้ำ, |S| = 13
• P = เซตของนักกีฬาที่ได้เหรียญปั่นจักรยาน, |P| = 19
• นักกีฬาที่ได้เหรียญทั้งหมด, |W ∪ S ∪ P| = 46
• นักกีฬาที่ได้เหรียญจากทั้งสามประเภท, |W ∩ S ∩ P| = 3

สูตร Inclusion-Exclusion สำหรับสามเซตคือ: |W ∪ S ∪ P| = |W| + |S| + |P| - (|W ∩ S| + |W ∩ P| + |S ∩ P|) + |W ∩ S ∩ P|

แทนค่าที่ทราบลงในสูตร: 46 = 37 + 13 + 19 - (|W ∩ S| + |W ∩ P| + |S ∩ P|) + 3 46 = 69 - (|W ∩ S| + |W ∩ P| + |S ∩ P|) + 3 46 = 72 - (|W ∩ S| + |W ∩ P| + |S ∩ P|)

ย้ายข้างเพื่อหาผลรวมของจำนวนนักกีฬาที่ได้เหรียญจากสองประเภท (รวมคนที่ได้สามประเภทด้วย): |W ∩ S| + |W ∩ P| + |S ∩ P| = 72 - 46 |W ∩ S| + |W ∩ P| + |S ∩ P| = 26

จำนวนนักกีฬาที่ได้เหรียญจากสองประเภทกีฬาเท่านั้น คือผลรวมของ |W ∩ S| + |W ∩ P| + |S ∩ P| ลบด้วยจำนวนนักกีฬาที่ได้เหรียญจากทั้งสามประเภท 3 ครั้ง (เนื่องจากคนที่ได้สามประเภทถูกนับรวมอยู่ในแต่ละคู่ของเซต) จำนวนนักกีฬาที่ได้เหรียญจากสองประเภทเท่านั้น = (|W ∩ S| + |W ∩ P| + |S ∩ P|) - 3 * |W ∩ S ∩ P| จำนวนนักกีฬาที่ได้เหรียญจากสองประเภทเท่านั้น = 26 - 3 * 3 จำนวนนักกีฬาที่ได้เหรียญจากสองประเภทเท่านั้น = 26 - 9 จำนวนนักกีฬาที่ได้เหรียญจากสองประเภทเท่านั้น = 17

ดังนั้น มีนักกีฬา 17 คนที่ได้เหรียญจากสองประเภทกีฬาเท่านั้น ซึ่งตรงกับตัวเลือก c.

{"correct_answer_key":"c"}

This is a set theory problem. We are given the number of athletes who won medals in each of three sports (running, swimming, cycling), the total number of athletes who won at least one medal, and the number of athletes who won medals in all three sports. We need to find the number of athletes who won medals in exactly two sports.

Let R be the set of athletes who won medals in running, S be the set of athletes who won medals in swimming, and C be the set of athletes who won medals in cycling. We are given: |R| = 37 |S| = 13 |C| = 19 |R ∪ S ∪ C| = 46 |R ∩ S ∩ C| = 3

The principle of inclusion-exclusion for three sets is: |R ∪ S ∪ C| = |R| + |S| + |C| - (|R ∩ S| + |R ∩ C| + |S ∩ C|) + |R ∩ S ∩ C|

We can rearrange this formula to find the sum of the intersections of two sets: |R ∩ S| + |R ∩ C| + |S ∩ C| = |R| + |S| + |C| + |R ∩ S ∩ C| - |R ∪ S ∪ C|

Substitute the given values: |R ∩ S| + |R ∩ C| + |S ∩ C| = 37 + 13 + 19 + 3 - 46 |R ∩ S| + |R ∩ C| + |S ∩ C| = 72 - 46 |R ∩ S| + |R ∩ C| + |S ∩ C| = 26

This sum includes the athletes who won medals in all three sports multiple times. The number of athletes who won medals in exactly two sports is the sum of the intersections of two sets minus 3 times the number of athletes who won medals in all three sports (since each athlete in the triple intersection is counted in each of the three pairwise intersections).

Number of athletes who won medals in exactly two sports = (|R ∩ S| + |R ∩ C| + |S ∩ C|) - 3 * |R ∩ S ∩ C| Number of athletes who won medals in exactly two sports = 26 - 3 * 3 Number of athletes who won medals in exactly two sports = 26 - 9 Number of athletes who won medals in exactly two sports = 17

Therefore, there are 17 athletes who won medals from exactly two sports.

{"correct_answer_key":"c"}

This is a set theory problem. Let V be the set of athletes who got medals from running, W from swimming, and B from cycling.

Given:

• |V| = 37
• |W| = 13
• |B| = 19
• Total athletes with medals (union of all three sets): |V U W U B| = 46
• Athletes who got medals from all three categories (intersection of all three sets): |V ∩ W ∩ B| = 3

We want to find the number of athletes who got medals from exactly two categories.

The formula for the union of three sets is: |V U W U B| = |V| + |W| + |B| - (|V ∩ W| + |V ∩ B| + |W ∩ B|) + |V ∩ W ∩ B|

Let S2 = (|V ∩ W| + |V ∩ B| + |W ∩ B|) be the sum of the sizes of the pairwise intersections. Plugging in the given values: 46 = 37 + 13 + 19 - S2 + 3 46 = 69 - S2 + 3 46 = 72 - S2 S2 = 72 - 46 S2 = 26

The number of athletes who got medals from exactly two categories is given by: (Number in exactly two categories) = S2 - 3 * |V ∩ W ∩ B| (Number in exactly two categories) = 26 - 3 * 3 (Number in exactly two categories) = 26 - 9 (Number in exactly two categories) = 17

Alternatively, using a Venn Diagram approach: Let A = number of athletes who got medals from exactly one sport. Let B = number of athletes who got medals from exactly two sports (this is what we need to find). Let C = number of athletes who got medals from exactly three sports = 3.

We know the total number of athletes with medals: A + B + C = 46 A + B + 3 = 46 A + B = 43 (Equation 1)

The sum of the individual categories is: |V| + |W| + |B| = 37 + 13 + 19 = 69 This sum can also be expressed as: (Number in exactly one sport) + 2 * (Number in exactly two sports) + 3 * (Number in exactly three sports) A + 2B + 3C = 69 A + 2B + 3(3) = 69 A + 2B + 9 = 69 A + 2B = 60 (Equation 2)

Now we have a system of two linear equations:

1. A + B = 43
2. A + 2B = 60

Subtract Equation 1 from Equation 2: (A + 2B) - (A + B) = 60 - 43 B = 17

So, there are 17 athletes who got medals from exactly two categories.

{"correct_answer_key":"c"}

This is a problem involving the Principle of Inclusion-Exclusion for three sets.

Let:

• V = set of athletes who got medals in running (วิ่ง)
• S = set of athletes who got medals in swimming (ว่ายน้ำ)
• C = set of athletes who got medals in cycling (ปั่นจักรยาน)

We are given:

• |V| = 37
• |S| = 13
• |C| = 19
• |V U S U C| = 46 (total athletes with medals)
• |V ∩ S ∩ C| = 3 (athletes who got medals from all three sports)

The Principle of Inclusion-Exclusion states: |V U S U C| = |V| + |S| + |C| - (|V ∩ S| + |V ∩ C| + |S ∩ C|) + |V ∩ S ∩ C|

Substitute the given values: 46 = 37 + 13 + 19 - (|V ∩ S| + |V ∩ C| + |S ∩ C|) + 3 46 = 69 - (|V ∩ S| + |V ∩ C| + |S ∩ C|) + 3 46 = 72 - (|V ∩ S| + |V ∩ C| + |S ∩ C|)

Let X = (|V ∩ S| + |V ∩ C| + |S ∩ C|). This X represents the sum of the counts of athletes who got medals in the intersection of any two sports (including those who got medals in all three sports, counted multiple times).

X = 72 - 46 X = 26

We are looking for the number of athletes who got medals from exactly two sports. Let:

• Only (V ∩ S) = number of athletes who got medals only from running and swimming.
• Only (V ∩ C) = number of athletes who got medals only from running and cycling.
• Only (S ∩ C) = number of athletes who got medals only from swimming and cycling.

The sum we calculated, X = |V ∩ S| + |V ∩ C| + |S ∩ C|, includes the athletes who got medals in all three sports (3 people) three times. For example, |V ∩ S| includes the 3 people who got medals in V, S, and C. Similarly for |V ∩ C| and |S ∩ C|.

So, X = (Only (V ∩ S) + |V ∩ S ∩ C|) + (Only (V ∩ C) + |V ∩ S ∩ C|) + (Only (S ∩ C) + |V ∩ S ∩ C|) X = (Only (V ∩ S) + Only (V ∩ C) + Only (S ∩ C)) + 3 * |V ∩ S ∩ C|

Let Y = (Only (V ∩ S) + Only (V ∩ C) + Only (S ∩ C)) be the number of athletes who got medals from exactly two sports.

We have X = 26 and |V ∩ S ∩ C| = 3. 26 = Y + 3 * 3 26 = Y + 9 Y = 26 - 9 Y = 17

So, there are 17 athletes who got medals from exactly two sports.

{"correct_answer_key":"c"}

คำอธิบาย: ปัญหานี้สามารถแก้ไขได้โดยใช้หลักการรวมและการแยกส่วน (Principle of Inclusion-Exclusion) สำหรับเซตสามเซต

ให้ R, S, และ C เป็นเซตของนักกีฬาที่ได้เหรียญรางวัลจากการวิ่ง ว่ายน้ำ และปั่นจักรยาน ตามลำดับ เราทราบข้อมูลต่อไปนี้: |R| = 37 (จำนวนนักกีฬาที่ได้เหรียญวิ่ง) |S| = 13 (จำนวนนักกีฬาที่ได้เหรียญว่ายน้ำ) |C| = 19 (จำนวนนักกีฬาที่ได้เหรียญปั่นจักรยาน) |R ∪ S ∪ C| = 46 (จำนวนนักกีฬาทั้งหมดที่ได้เหรียญรางวัลอย่างน้อยหนึ่งประเภท) |R ∩ S ∩ C| = 3 (จำนวนนักกีฬาที่ได้เหรียญรางวัลทั้งสามประเภท)

เราต้องการหาจำนวนนักกีฬาที่ได้เหรียญรางวัลจากสองประเภทกีฬา เท่านั้น

จากหลักการรวมและการแยกส่วน: |R ∪ S ∪ C| = |R| + |S| + |C| - (|R ∩ S| + |R ∩ C| + |S ∩ C|) + |R ∩ S ∩ C| แทนค่าที่ทราบลงในสมการ: 46 = 37 + 13 + 19 - (|R ∩ S| + |R ∩ C| + |S ∩ C|) + 3 46 = 69 - (|R ∩ S| + |R ∩ C| + |S ∩ C|) + 3 46 = 72 - (|R ∩ S| + |R ∩ C| + |S ∩ C|) ดังนั้น ผลรวมของจำนวนนักกีฬาที่ได้เหรียญรางวัลอย่างน้อยสองประเภทคือ: (|R ∩ S| + |R ∩ C| + |S ∩ C|) = 72 - 46 = 26

จำนวนนักกีฬาที่ได้เหรียญรางวัลจากสองประเภทกีฬา เท่านั้น สามารถคำนวณได้ดังนี้: จำนวน (สองประเภทเท่านั้น) = (|R ∩ S| - |R ∩ S ∩ C|) + (|R ∩ C| - |R ∩ S ∩ C|) + (|S ∩ C| - |R ∩ S ∩ C|) จำนวน (สองประเภทเท่านั้น) = (|R ∩ S| + |R ∩ C| + |S ∩ C|) - 3 * |R ∩ S ∩ C| แทนค่าที่คำนวณได้: จำนวน (สองประเภทเท่านั้น) = 26 - 3 * 3 จำนวน (สองประเภทเท่านั้น) = 26 - 9 จำนวน (สองประเภทเท่านั้น) = 17

ดังนั้น มีนักกีฬา 17 คนที่ได้เหรียญจากสองประเภทกีฬาเท่านั้น ซึ่งตรงกับตัวเลือก c

{"correct_answer_key":"c"}

คำอธิบาย: โจทย์นี้เป็นปัญหาเกี่ยวกับการใช้หลักการรวมและการแยก (Principle of Inclusion-Exclusion) สำหรับเซตสามเซต ให้ R, S, C เป็นเซตของนักกีฬาที่ได้เหรียญจากกีฬาวิ่ง ว่ายน้ำ และปั่นจักรยาน ตามลำดับ เราทราบข้อมูลต่อไปนี้: |R| = 37 (วิ่ง) |S| = 13 (ว่ายน้ำ) |C| = 19 (ปั่นจักรยาน) |R ∪ S ∪ C| = 46 (นักกีฬาทั้งหมดที่ได้เหรียญ) |R ∩ S ∩ C| = 3 (ได้เหรียญจากทุกประเภทกีฬา)

เราต้องการหาจำนวนนักกีฬาที่ได้เหรียญจากสองประเภทกีฬาเท่านั้น ซึ่งคือ: (|R ∩ S| - |R ∩ S ∩ C|) + (|R ∩ C| - |R ∩ S ∩ C|) + (|S ∩ C| - |R ∩ S ∩ C|) = |R ∩ S| + |R ∩ C| + |S ∩ C| - 3 * |R ∩ S ∩ C|

จากหลักการรวมและการแยก: |R ∪ S ∪ C| = |R| + |S| + |C| - (|R ∩ S| + |R ∩ C| + |S ∩ C|) + |R ∩ S ∩ C| แทนค่าที่ทราบ: 46 = 37 + 13 + 19 - (|R ∩ S| + |R ∩ C| + |S ∩ C|) + 3 46 = 69 + 3 - (|R ∩ S| + |R ∩ C| + |S ∩ C|) 46 = 72 - (|R ∩ S| + |R ∩ C| + |S ∩ C|) ดังนั้น, (|R ∩ S| + |R ∩ C| + |S ∩ C|) = 72 - 46 = 26

จำนวนนักกีฬาที่ได้เหรียญจากสองประเภทกีฬา เป็นอย่างน้อย คือ 26 คน แต่ในจำนวน 26 คนนี้ นักกีฬา 3 คนที่ได้เหรียญจากทุกประเภทกีฬา (สามประเภท) จะถูกนับซ้ำ 3 ครั้ง (ครั้งหนึ่งใน R∩S, ครั้งหนึ่งใน R∩C, และครั้งหนึ่งใน S∩C) จำนวนนักกีฬาที่ได้เหรียญจากสองประเภทกีฬา เท่านั้น คือ: (|R ∩ S| + |R ∩ C| + |S ∩ C|) - 3 * |R ∩ S ∩ C| = 26 - 3 * 3 = 26 - 9 = 17 คน

ดังนั้น มีนักกีฬา 17 คน ที่ได้เหรียญจากสองประเภทกีฬาเท่านั้น ซึ่งตรงกับตัวเลือก c

{"correct_answer_key":"c"}

This is a principle of inclusion-exclusion problem. Let V = runners (37), S = swimmers (13), C = cyclists (19). Total athletes with medals = 46. Athletes with medals from all three sports = 3.

Total medals awarded = V + S + C = 37 + 13 + 19 = 69.

Let x be the number of athletes who won medals from exactly two sports. Let y be the number of athletes who won medals from exactly one sport. Let z be the number of athletes who won medals from all three sports (z = 3).

Total athletes with medals = y + x + z = 46. Total medals awarded = y + 2x + 3z = 69.

Substituting z = 3 into the equations: y + x + 3 = 46 => y + x = 43 y + 2x + 9 = 69 => y + 2x = 60

Subtracting the first equation from the second: (y + 2x) - (y + x) = 60 - 43 x = 17

Therefore, 17 athletes won medals from exactly two sports.

{"correct_answer_key":"c"}

คำอธิบาย:
ให้ A, B, C แทนจำนวนนักกีฬาที่ได้เหรียญจากวิ่ง, ว่ายน้ำ, ปั่นจักรยาน ตามลำดับ
A = 37, B = 13, C = 19
จำนวนคนที่ได้เหรียญรางวัลทั้งหมด = 46
มี 3 คนที่ได้เหรียญจากทั้ง 3 ประเภทกีฬา

ใช้สูตร Inclusion-Exclusion Principle:
จำนวนคนทั้งหมด = (A + B + C) - (จำนวนคนที่ได้ 2 ประเภท) - 2×(จำนวนคนที่ได้ 3 ประเภท)
46 = (37 + 13 + 19) - (จำนวนคนที่ได้ 2 ประเภท) - 2×3
46 = 69 - (จำนวนคนที่ได้ 2 ประเภท) - 6
46 = 63 - (จำนวนคนที่ได้ 2 ประเภท)
จำนวนคนที่ได้ 2 ประเภท = 63 - 46 = 17

แต่โจทย์ถาม "นักกีฬากี่คนที่ได้เหรียญจากสองประเภทกีฬาเท่านั้น"
ซึ่งจำนวนนี้คือคนที่ได้ 2 ประเภท (17 คน) โดยไม่รวมคนที่ได้ 3 ประเภท (เพราะในสูตรนี้นับรวมคนที่ได้ 3 ประเภทไว้ในแต่ละคู่แล้ว แต่ Inclusion-Exclusion ได้หักออกให้แล้ว)

ดังนั้น คำตอบคือ 17 คน

{"correct_answer_key":"c"}

This problem involves three sports with overlapping medalists. We know:

• Running medalists (R) = 37
• Swimming medalists (S) = 13
• Cycling medalists (C) = 19
• Total medalists = 46
• Medalists who won medals in all three sports (R ∩ S ∩ C) = 3

We want to find the number of athletes who won medals in exactly two sports.

Using the principle of inclusion-exclusion:

Total medalists = |R| + |S| + |C| - |R ∩ S| - |S ∩ C| - |R ∩ C| + |R ∩ S ∩ C|

Let x = number of athletes who won medals in exactly two sports.

Let a = |R ∩ S|, b = |S ∩ C|, c = |R ∩ C|.

We know the triple intersection is 3.

The number of athletes who won medals in exactly two sports is:

x = (a - 3) + (b - 3) + (c - 3) = (a + b + c) - 3*3 = (a + b + c) - 9

From the inclusion-exclusion formula:

46 = 37 + 13 + 19 - (a + b + c) + 3

46 = 69 - (a + b + c) + 3

46 = 72 - (a + b + c)

(a + b + c) = 72 - 46 = 26

Therefore,

x = 26 - 9 = 17

So, 17 athletes won medals in exactly two sports.

{"correct_answer_key":"c"}

จากข้อมูล:

• นักกีฬาที่ได้รับเหรียญจากวิ่ง = 37 คน
• นักกีฬาที่ได้รับเหรียญจากว่ายน้ำ = 13 คน
• นักกีฬาที่ได้รับเหรียญจากปั่นจักรยาน = 19 คน
• นักกีฬาที่ได้รับเหรียญจากอย่างน้อยหนึ่งกีฬา = 46 คน
• นักกีฬาที่ได้รับเหรียญจากทุกประเภท = 3 คน

เราต้องการหาจำนวนนักกีฬาที่ได้รับเหรียญจากสองประเภทกีฬาเท่านั้น

ขั้นตอน:

1. รวมจำนวนเหรียญทั้งหมด = 37 + 13 + 19 = 69
2. เนื่องจากมีนักกีฬา 46 คนที่ได้รับเหรียญ รวมถึง 3 คนที่ได้รับเหรียญจากทุกประเภท
3. นักกีฬาที่ได้รับเหรียญจากสองประเภท = (จำนวนเหรียญรวม - นักกีฬาที่ได้รับเหรียญจากทุกประเภท) - นักกีฬาที่ได้รับเหรียญจากเพียงหนึ่งประเภท

แต่เนื่องจากข้อมูลนี้ซับซ้อนและต้องการหาจำนวนที่ได้รับเหรียญจากสองประเภทเท่านั้น เราสามารถใช้สูตรการนับแบบ Inclusion-Exclusion:

จำนวนเหรียญรวม = (จำนวนจากแต่ละกีฬา) - (จำนวนจากสองกีฬา) + (จำนวนจากทุกกีฬา)

ดังนั้น: 69 = (37 + 13 + 19) - (จำนวนจากสองกีฬา) - 2*(จำนวนจากทุกกีฬา) + (จำนวนจากทุกกีฬา)

แต่เนื่องจากข้อมูลนี้ซับซ้อนและมีหลายตัวแปร เราสามารถใช้ข้อมูลที่ให้มาเพื่อคำนวณง่ายขึ้น:

จำนวนเหรียญรวม = 46 จำนวนที่ได้รับเหรียญจากทุกกีฬา = 3

จำนวนเหรียญจากสองกีฬาเท่านั้น = ?

จากข้อมูล:

• นักกีฬาที่ได้รับเหรียญจากอย่างน้อยหนึ่งกีฬา = 46
• นักกีฬาที่ได้รับเหรียญจากทุกกีฬา = 3
• นักกีฬาที่ได้รับเหรียญจากเพียงหนึ่งกีฬา = 46 - 3 = 43

สมมติ:

• x = นักกีฬาที่ได้รับเหรียญจากสองกีฬาเท่านั้น

จากการนับ: จำนวนเหรียญรวม = (นักกีฬาที่ได้รับเหรียญจากวิ่ง + ว่ายน้ำ + ปั่นจักรยาน) - (นักกีฬาที่ได้รับเหรียญจากสองกีฬา) * 2 - (นักกีฬาที่ได้รับเหรียญจากทุกกีฬา) * 3 + นักกีฬาที่ได้รับเหรียญจากทุกกีฬา

แต่เนื่องจากข้อมูลนี้ซับซ้อนและมีหลายตัวแปร เราสามารถสรุปได้ว่า:

นักกีฬาที่ได้รับเหรียญจากสองประเภทกีฬาเท่านั้น = (จำนวนเหรียญรวม - นักกีฬาที่ได้รับเหรียญจากทุกกีฬา) - จำนวนที่ได้รับเหรียญจากเพียงหนึ่งกีฬา

ดังนั้น: นักกีฬาที่ได้รับเหรียญจากสองประเภทกีฬา = 46 - 3 - (จำนวนที่ได้รับเหรียญจากเพียงหนึ่งกีฬา)

จากตัวเลือกและการคำนวณเบื้องต้น คำตอบที่เหมาะสมคือ 16 คน

{"correct_answer_key":"b"}

ขั้นแรก เราจะใช้หลักการของเซตในการแก้ปัญหานี้

กำหนดให้:

• จำนวนคนที่ได้เหรียญวิ่ง = 37 คน
• จำนวนคนที่ได้เหรียญว่ายน้ำ = 13 คน
• จำนวนคนที่ได้เหรียญปั่นจักรยาน = 19 คน
• จำนวนคนที่ได้เหรียญทั้งหมด = 46 คน
• จำนวนคนที่ได้เหรียญทั้งสามประเภท = 3 คน

ให้ x คือจำนวนคนที่ได้เหรียญสองประเภทกีฬาเท่านั้น (ที่เราต้องการหา)

จากสูตรเซต เรามี:
จำนวนคนทั้งหมด = (จำนวนคนที่ได้เหรียญวิ่ง) + (จำนวนคนที่ได้เหรียญว่ายน้ำ) + (จำนวนคนที่ได้เหรียญปั่นจักรยาน)
− (จำนวนคนที่ได้เหรียญสองประเภทกีฬาเท่านั้น × 2) − (จำนวนคนที่ได้เหรียญทั้งสามประเภท × 2)

แทนค่าลงไป:
46 = (37 + 13 + 19) − (x × 2) − (3 × 2)
46 = 69 − 2x − 6
46 = 63 − 2x
2x = 63 − 46
2x = 17
x = 17 ÷ 2
x = 8.5

แต่จำนวนคนต้องเป็นจำนวนเต็ม ดังนั้นการคำนวณข้างต้นมีข้อผิดพลาดในการตั้งสมการ เรามาทบทวนใหม่อีกครั้งให้ถูกต้อง:

สมการที่ถูกต้องคือ:
จำนวนคนทั้งหมด = (จำนวนคนที่ได้เหรียญวิ่ง) + (จำนวนคนที่ได้เหรียญว่ายน้ำ) + (จำนวนคนที่ได้เหรียญปั่นจักรยาน)
− (จำนวนคนที่ได้เหรียญสองประเภทกีฬาเท่านั้น) − 2 × (จำนวนคนที่ได้เหรียญทั้งสามประเภท)

แทนค่าลงไปใหม่:
46 = (37 + 13 + 19) − x − 2(3)
46 = 69 − x − 6
46 = 63 − x
x = 63 − 46
x = 17

ดังนั้น จำนวนคนที่ได้เหรียญจากสองประเภทกีฬาเท่านั้น คือ 17 คน ซึ่งตรงกับตัวเลือก c

{"correct_answer_key":"c"}

ในโจทย์นี้ เราต้องหาจำนวนนักกีฬาที่ได้รับเหรียญจากสองประเภทกีฬาเท่านั้น โดยใช้หลักการของเซตและการนับแบบรวม-แยก (Inclusion-Exclusion Principle)

1. นักกีฬาที่ได้รับเหรียญจากทุกประเภทกีฬา = 3 คน
2. นักกีฬาที่ได้รับเหรียญรางวัลทั้งหมด = 46 คน

จากข้อมูลที่ให้มา:

• นักกีฬาวิ่ง = 37 คน
• นักกีฬาว่ายน้ำ = 13 คน
• นักกีฬาปันจักรยาน = 19 คน

ใช้สูตรการนับแบบรวม-แยก: [ |A \cup B \cup C| = |A| + |B| + |C| - |A \cap B| - |A \cap C| - |B \cap C| + |A \cap B \cap C| ]

แทนค่าลงในสูตร: [ 46 = 37 + 13 + 19 - (x + y + z) + 3 ]

แก้สมการ: [ 46 = 69 - (x + y + z) + 3 ] [ 46 = 72 - (x + y + z) ] [ x + y + z = 26 ]

โดยที่ ( x, y, z ) คือจำนวนนักกีฬาที่ได้รับเหรียญจากสองประเภทกีฬา

ดังนั้น จำนวนนักกีฬาที่ได้รับเหรียญจากสองประเภทกีฬาเท่านั้นคือ 26 คน

{"correct_answer_key":"b"}

ในการแข่งขันนี้ เรามีข้อมูลเกี่ยวกับนักกีฬาที่ได้รับเหรียญรางวัลจากแต่ละประเภทกีฬา ดังนี้:

• นักกีฬาวิ่ง: 37 คน
• นักกีฬาว่ายน้ำ: 13 คน
• นักกีฬาปั่นจักรยาน: 19 คน
• นักกีฬาที่ได้รับเหรียญรางวัลทั้งหมด: 46 คน
• นักกีฬาที่ได้รับเหรียญรางวัลจากทุกประเภท: 3 คน

เราสามารถใช้ข้อมูลเหล่านี้ในการคำนวณนักกีฬาที่ได้รับเหรียญรางวัลจากสองประเภทกีฬาเท่านั้น โดยใช้สูตร:

1. นักกีฬาที่ได้รับเหรียญรางวัลจากประเภทเดียว = (นักกีฬาวิ่ง + นักกีฬาว่ายน้ำ + นักกีฬาปั่นจักรยาน) - (นักกีฬาที่ได้รับเหรียญรางวัลทั้งหมด) + (นักกีฬาที่ได้รับเหรียญรางวัลจากทุกประเภท)

2. นักกีฬาที่ได้รับเหรียญรางวัลจากประเภทเดียว = (37 + 13 + 19) - 46 + 3 = 26 คน

3. นักกีฬาที่ได้รับเหรียญรางวัลจากสองประเภท = (นักกีฬาที่ได้รับเหรียญรางวัลจากประเภทเดียว) - (นักกีฬาที่ได้รับเหรียญรางวัลจากทุกประเภท) = 26 - 3 = 23 คน

ดังนั้น นักกีฬาที่ได้เหรียญจากสองประเภทกีฬาเท่านั้นคือ 23 คน ซึ่งตรงกับตัวเลือก e.

{"correct_answer_key":"e"}

เพื่อแก้ปัญหานี้ เราใช้หลักการของเซต (Set Theory) และสูตรการรวมกลุ่ม (Inclusion-Exclusion Principle) สำหรับสามเซต:

• จำนวนนักกีฬาที่ได้เหรียญจากกีฬาวิ่ง = 37 คน
• จำนวนนักกีฬาที่ได้เหรียญจากกีฬาว่ายน้ำ = 13 คน
• จำนวนนักกีฬาที่ได้เหรียญจากกีฬาปั่นจักรยาน = 19 คน
• จำนวนนักกีฬาที่ได้เหรียญทั้งหมด = 46 คน
• จำนวนนักกีฬาที่ได้เหรียญจากทั้งสามประเภท = 3 คน

เราต้องหาจำนวนนักกีฬาที่ได้เหรียญจากสองประเภทกีฬาเท่านั้น โดยใช้สูตร:

จำนวนทั้งหมด = (วิ่ง) + (ว่ายน้ำ) + (ปั่นจักรยาน) - (สองประเภท) - 2*(สามประเภท)

แทนค่าลงในสูตร: 46 = 37 + 13 + 19 - (สองประเภท) - 2*(3) 46 = 69 - (สองประเภท) - 6 46 = 63 - (สองประเภท) สองประเภท = 63 - 46 = 17 คน

ดังนั้น จำนวนนักกีฬาที่ได้เหรียญจากสองประเภทกีฬาเท่านั้นคือ 17 คน ซึ่งตรงกับตัวเลือก C

{"correct_answer_key":"c"}

Explanation:

This is a set theory problem involving the inclusion-exclusion principle. We have:

• 37 athletes won medals in running (A).
• 13 in swimming (B).
• 19 in cycling (C).
• Total unique athletes: 46.
• Athletes in all three sports: 3.

Using inclusion-exclusion:
|A ∪ B ∪ C| = |A| + |B| + |C| - (|A ∩ B| + |A ∩ C| + |B ∩ C|) + |A ∩ B ∩ C|
46 = 37 + 13 + 19 - (sum of pairwise intersections) + 3
46 = 69 + 3 - (sum of pairwise intersections)
Sum of pairwise intersections = 72 - 46 = 26.

The number in exactly two sports is:
(Sum of pairwise intersections) - 3 × (triple intersection) = 26 - 3 × 3 = 26 - 9 = 17.

Thus, 17 athletes won medals in exactly two sports.

{"correct_answer_key":"c"}

ในการหาจำนวนนักกีฬาที่ได้เหรียญจากสองประเภทกีฬาเท่านั้น เราสามารถใช้หลักการของทฤษฎีเซตได้

ให้ A เป็นเซตของนักกีฬาที่ได้เหรียญจากกีฬาวิ่ง, B เป็นเซตของนักกีฬาที่ได้เหรียญจากกีฬาว่ายน้ำ, และ C เป็นเซตของนักกีฬาที่ได้เหรียญจากกีฬาปันจักรยาน

เรามี:

• |A| = 37
• |B| = 13
• |C| = 19
• |A ∪ B ∪ C| = 46 (นักกีฬาที่ได้เหรียญรางวัลทั้งหมด)
• |A ∩ B ∩ C| = 3 (นักกีฬาที่ได้เหรียญรางวัลจากทุกประเภทกีฬา)

โดยใช้หลักการรวม-แยก (Inclusion-Exclusion Principle) เราสามารถเขียนได้ว่า: |A ∪ B ∪ C| = |A| + |B| + |C| - |A ∩ B| - |A ∩ C| - |B ∩ C| + |A ∩ B ∩ C|

แทนที่ค่าที่กำหนดเราจะได้: 46 = 37 + 13 + 19 - |A ∩ B| - |A ∩ C| - |B ∩ C| + 3

ลดความซับซ้อนเราได้รับ: 46 = 69 + 3 - |A ∩ B| - |A ∩ C| - |B ∩ C| 46 = 72 - |A ∩ B| - |A ∩ C| - |B ∩ C| |A ∩ B| + |A ∩ C| + |B ∩ C| = 26

เนื่องจาก |A ∩ B ∩ C| = 3 เป็นเซตย่อยของทุกเซตที่เกิดจากการรวมกันสองเซตใดๆ (เช่น A ∩ B, A ∩ C, B ∩ C) เราจึงต้องลบ 3 จากผลรวม |A ∩ B| + |A ∩ C| + |B ∩ C| เพื่อหลีกเลี่ยงการนับซ้ำของนักกีฬาที่ได้เหรียญรางวัลจากทุกประเภทกีฬา

ดังนั้น จำนวนนักกีฬาที่ได้เหรียญรางวัลจากสองประเภทกีฬาเท่านั้นคือ: |A ∩ B| + |A ∩ C| + |B ∩ C| - 3*3 = 26 - 9 = 17

{"correct_answer_key":"c"}

เราสามารถใช้หลักการของ Inclusion-Exclusion ในการแก้ปัญหานี้ได้ โดยให้ A, B, และ C เป็นเซตของนักกีฬาที่ได้รับเหรียญรางวัลจากการวิ่ง, ว่ายน้ำ, และปันจักรยาน ตามลำดับ

จากข้อมูลที่ให้มา เรารู้ว่า:

• |A| = 37
• |B| = 13
• |C| = 19
• |A ∪ B ∪ C| = 46 (จำนวนรวมของนักกีฬาที่ได้รับเหรียญรางวัล)
• |A ∩ B ∩ C| = 3 (จำนวนนักกีฬาที่ได้รับเหรียญรางวัลจากทั้งสามประเภท)

สูตร Inclusion-Exclusion สำหรับ 3 เซต คือ: |A ∪ B ∪ C| = |A| + |B| + |C| - |A ∩ B| - |A ∩ C| - |B ∩ C| + |A ∩ B ∩ C|

เมื่อแทนค่าที่เรารู้ลงในสูตร: 46 = 37 + 13 + 19 - |A ∩ B| - |A ∩ C| - |B ∩ C| + 3

ลดความซับซ้อนของสมการ: 46 = 69 + 3 - (|A ∩ B| + |A ∩ C| + |B ∩ C|) 46 = 72 - (|A ∩ B| + |A ∩ C| + |B ∩ C|)

ดังนั้น: |A ∩ B| + |A ∩ C| + |B ∩ C| = 72 - 46 = 26

เราต้องการหาจำนวนนักกีฬาที่ได้รับเหรียญรางวัลจาก 2 ประเภทกีฬาเท่านั้น ซึ่งก็คือ (|A ∩ B| + |A ∩ C| + |B ∩ C|) - 3*|A ∩ B ∩ C| เนื่องจากนักกีฬาที่ได้รับเหรียญรางวัลทั้ง 3 ประเภทถูกนับ 3 ครั้งในการรวมกันของ 2 เซต

ดังนั้น จำนวนนักกีฬาที่ได้รับเหรียญจาก 2 ประเภทกีฬาเท่านั้น = 26 - 3*3 = 26 - 9 = 17 คน

{"correct_answer_key":"c"}

To solve this, let's denote:

• (A) as the set of athletes who received medals in running,
• (B) as the set of athletes who received medals in swimming,
• (C) as the set of athletes who received medals in cycling.

Given:

• (|A| = 37),
• (|B| = 13),
• (|C| = 19),
• Total athletes with medals (= 46),
• Athletes with medals in all three sports (= 3).

We are asked to find the number of athletes who received medals in exactly two types of sports.

The principle of inclusion-exclusion states: [|A \cup B \cup C| = |A| + |B| + |C| - |A \cap B| - |A \cap C| - |B \cap C| + |A \cap B \cap C|]

Rearrange to solve for intersections: [|A \cap B| + |A \cap C| + |B \cap C| = |A| + |B| + |C| - |A \cup B \cup C| + |A \cap B \cap C|]

Substituting given values: [|A \cap B| + |A \cap C| + |B \cap C| = 37 + 13 + 19 - 46 + 3 = 26]

However, this includes (3 \times |A \cap B \cap C|) (since those who got medals in all three sports are counted three times in the intersections), so we need to adjust for that: [|A \cap B| + |A \cap C| + |B \cap C| - 3 \times |A \cap B \cap C| = 26 - 3 \times 3 = 26 - 9 = 17]

This (17) represents the number of athletes who received medals in exactly two types of sports plus three times the number who received in all three (which we've accounted for). So, (17) is directly the number of athletes who got medals in exactly two sports.

{"correct_answer_key":"c"}

To solve this problem, let's denote:

• ( A ) as the number of athletes who received medals from running (37 athletes).
• ( B ) as the number of athletes who received medals from swimming (13 athletes).
• ( C ) as the number of athletes who received medals from cycling (19 athletes).
• ( T ) as the total number of athletes who received medals (46 athletes).
• ( X ) as the number of athletes who received medals from exactly two types of sports.
• ( Y ) as the number of athletes who received medals from all three types of sports (3 athletes).

Using the principle of inclusion-exclusion for sets, we can determine ( X ) as follows:

1. Calculate the sum of athletes who received medals from each sport: [ A + B + C = 37 + 13 + 19 = 69 ]

2. Subtract the total number of athletes who received medals: [ 69 - 46 = 23 ]

3. Since 3 athletes received medals from all three sports, we need to adjust for these athletes being counted three times in the initial sum: [ 23 - 2 \times 3 = 23 - 6 = 17 ]

Therefore, the number of athletes who received medals from exactly two types of sports is 17.

{"correct_answer_key":"c"}

To solve this problem, we use the principle of inclusion-exclusion for three sets. Let's denote the number of athletes who received medals in running, swimming, and cycling as ( A ), ( B ), and ( C ) respectively. We know:

• ( |A| = 37 )
• ( |B| = 13 )
• ( |C| = 19 )
• ( |A \cup B \cup C| = 46 )
• ( |A \cap B \cap C| = 3 )

We need to find the number of athletes who received medals in exactly two types of sports. Using the principle of inclusion-exclusion, we have:

[ |A \cup B \cup C| = |A| + |B| + |C| - |A \cap B| - |A \cap C| - |B \cap C| + |A \cap B \cap C| ]

Substituting the known values:

[ 46 = 37 + 13 + 19 - (|A \cap B| + |A \cap C| + |B \cap C|) + 3 ]

Simplifying:

[ 46 = 69 - (|A \cap B| + |A \cap C| + |B \cap C|) ]

[ |A \cap B| + |A \cap C| + |B \cap C| = 23 ]

To find the number of athletes who received medals in exactly two types of sports, we subtract the number of athletes who received medals in all three types from the sum of the intersections of two sets:

[ \text{Exactly two types} = (|A \cap B| + |A \cap C| + |B \cap C|) - 3 \times |A \cap B \cap C| ]

[ \text{Exactly two types} = 23 - 3 \times 3 ]

[ \text{Exactly two types} = 23 - 9 ]

[ \text{Exactly two types} = 14 ]

However, this calculation seems to have an error. Let's correct it by considering the total number of athletes who received medals in at least two types of sports:

[ \text{Exactly two types} = (|A \cap B| + |A \cap C| + |B \cap C|) - 2 \times |A \cap B \cap C| ]

[ \text{Exactly two types} = 23 - 2 \times 3 ]

[ \text{Exactly two types} = 23 - 6 ]

[ \text{Exactly two types} = 17 ]

Thus, the correct answer is:

{"correct_answer_key":"c"}

To solve this problem, we need to use the principle of inclusion-exclusion for three sets. Let's define the sets as follows:

• ( A ): Set of athletes who won medals in running.
• ( B ): Set of athletes who won medals in swimming.
• ( C ): Set of athletes who won medals in cycling.

Given:

• ( |A| = 37 )
• ( |B| = 13 )
• ( |C| = 19 )
• ( |A \cup B \cup C| = 46 )
• ( |A \cap B \cap C| = 3 )

We need to find the number of athletes who won medals in exactly two of the three sports, which we'll denote as ( x ).

Using the principle of inclusion-exclusion for three sets, we have:

[ |A \cup B \cup C| = |A| + |B| + |C| - |A \cap B| - |A \cap C| - |B \cap C| + |A \cap B \cap C| ]

Plugging in the given values:

[ 46 = 37 + 13 + 19 - |A \cap B| - |A \cap C| - |B \cap C| + 3 ]

Simplify the equation:

[ 46 = 72 - (|A \cap B| + |A \cap C| + |B \cap C|) + 3 ]

[ 46 = 75 - (|A \cap B| + |A \cap C| + |B \cap C|) ]

[ |A \cap B| + |A \cap C| + |B \cap C| = 75 - 46 ]

[ |A \cap B| + |A \cap C| + |B \cap C| = 29 ]

Now, let's denote:

• ( x ): Number of athletes who won medals in exactly two of the three sports.
• ( y ): Number of athletes who won medals in exactly one of the three sports.

We know that: [ |A \cap B| + |A \cap C| + |B \cap C| = x + 2|A \cap B \cap C| ]

Since ( |A \cap B \cap C| = 3 ):

[ 29 = x + 2 \times 3 ]

[ 29 = x + 6 ]

[ x = 29 - 6 ]

[ x = 23 ]

Therefore, the number of athletes who won medals in exactly two of the three sports is ( \boxed{23} ).

So the correct answer is:

{"correct_answer_key":"e"}

To find the number of athletes who received medals in exactly two sports, we can use the principle of inclusion-exclusion.

Total number of medalists: 46 Number of medalists in running: 37 Number of medalists in swimming: 13 Number of medalists in cycling: 19 Number of medalists in all three sports: 3

First, we calculate the total number of medals awarded, considering those who received medals in multiple sports multiple times: 37 (running) + 13 (swimming) + 19 (cycling) = 69 medals.

Since there are only 46 unique medalists, the difference (69 - 46 = 23) represents the number of times athletes who won in more than one sport were counted more than once.

From these 23 over-counted medals, we need to subtract the 3 athletes who won in all three sports, as they were counted three times but should only be counted once toward the overlap: 23 - 3 = 20.

This 20 represents the number of medals won by athletes who were counted twice because they won in exactly two sports. Since each of these athletes is counted twice, we divide by 2 to find the number of unique athletes: 20 / 2 = 10.

However, we must also consider that the 3 athletes who won in all three sports were part of this count when they won their second sport. Therefore, we add the 3 back to correct for this: 10 + 3 = 13.

But this still doesn't account for all the overlaps correctly. The correct approach is to realize that the 20 over-counts include those who won two sports and those who won all three. We've already accounted for the 3 who won all three, so the remaining 17 must be those who won exactly two sports.

Therefore, the number of athletes who received medals in exactly two sports is 17.

{"correct_answer_key":"c"}

คำอธิบายโดยย่อ:
ใช้สูตรจำนวนคนที่ได้เหรียญจากอย่างน้อยหนึ่งกีฬา (R ∪ S ∪ C) = |R| + |S| + |C| - (ผลรวมของจำนวนคนที่ได้เหรียญจากกีฬา 2 ชนิด) + (จำนวนคนที่ได้เหรียญจากกีฬา 3 ชนิด)
จะได้ 46 = 37 + 13 + 19 - (r + s + c) + 3 ⇒ r + s + c = 26
สำหรับคนที่ได้เหรียญจาก 2 ชนิดกีฬาพอดี = (r + s + c) - 3×(จำนวนคนที่ได้เหรียญ 3 ชนิด) = 26 - 3×3 = 17

ผลลัพธ์คือ 17 คน

{"correct_answer_key":"c"}

เมื่อนับจำนวนนักกีฬาทั้งหมดต้องใช้หลักการรวม–แยก (Inclusion–Exclusion)

ให้
|R| = 37 (วิ่ง)
|S| = 13 (ว่ายน้ำ)
|C| = 19 (ปันจักรยาน)
|R∪S∪C| = 46 (นักกีฬาที่ได้เหรียญอย่างน้อยหนึ่งประเภท)
|R∩S∩C| = 3 (ได้เหรียญทั้งสามประเภท)

1. ใช้สูตรรวม–แยก
   46 = 37 + 13 + 19 − (|R∩S|+|S∩C|+|C∩R|) + 3
   ⇒ |R∩S|+|S∩C|+|C∩R| = 72 − 46 = 26

2. ในผลรวม 26 นี้ นักกีฬาที่ได้เหรียญทั้งสามประเภท (3 คน) ถูกนับซ้ำอยู่ในแต่ละคู่ 3 ครั้ง
   จำนวนนักกีฬาที่ได้เหรียญ “สองประเภทเท่านั้น”
   = 26 − 3×3 = 26 − 9 = 17

จึงมีนักกีฬา 17 คนที่ได้เหรียญจากสองประเภทกีฬาเท่านั้น (ข้อ c)

{"correct_answer_key":"c"}

แต่ละประเภทกีฬา (R=วิ่ง, S=ว่ายน้ำ, C=ปั่นจักรยาน) มีจำนวนผู้ได้เหรียญรวม
R + S + C = 37 + 13 + 19 = 69

ให้
y = จำนวนคนที่ได้เหรียญ “หนึ่ง” ประเภทเท่านั้น
x = จำนวนคนที่ได้เหรียญ “สอง” ประเภทเท่านั้น
3 = จำนวนคนที่ได้เหรียญ “สาม” ประเภท (กำหนด)

1. นับจากยอดรวมคน
   y + x + 3 = 46  ⇒ y + x = 43

2. นับจากยอดรวมเหรียญ (หลัก Inclusion‑Exclusion)
   y·1 + x·2 + 3·3 = 69  ⇒ y + 2x + 9 = 69  ⇒ y + 2x = 60

ลบสมการแรกออกจากสมการที่สอง
(y + 2x) − (y + x) = 60 − 43
x = 17

จึงมีนักกีฬา 17 คนที่ได้เหรียญจากสองประเภทกีฬาเท่านั้น

{"correct_answer_key":"c"}

แนวคิดย่อ
ใช้หลักการนับแบบเวนน์ (inclusion‑exclusion) กำหนดให้
r, s, c = ได้เหรียญจากกีฬาเดียว (วิ่ง, ว่ายน้ำ, ปั่นจักรยาน)
rs, rc, sc = ได้เหรียญจากสองกีฬา (วิ่ง–ว่าย, วิ่ง–ปั่น, ว่าย–ปั่น)
a = ได้เหรียญทุก 3 กีฬา = 3

สมการจากข้อมูล

1. r + rs + rc + a = 37
2. s + rs + sc + a = 13
3. c + rc + sc + a = 19
4. r + s + c + rs + rc + sc + a = 46

ให้ T = rs + rc + sc (ต้องการหา) และ a = 3

จาก (4) ⇒ r + s + c + T = 43 … (4′)
รวม (1)+(2)+(3) แล้วลบ 3a ได้
r + s + c + 2T = 60 … (5)

(5) − (4′) ⇒ T = 60 − 43 = 17

จึงมีนักกีฬา 17 คนที่ได้เหรียญจากสองประเภทกีฬาเท่านั้น ตรงกับตัวเลือกข้อค.

{"correct_answer_key":"c"}

เรานิยามให้ R, S, C เป็นเซตของนักกีฬาที่ได้เหรียญในแต่ละประเภทโดยมีจำนวนดังนี้   |R| = 37, |S| = 13, |C| = 19 และรวมแล้วมีนักกีฬาได้เหรียญทั้งหมด 46 คน โดยมีนักกีฬา 3 คนที่ได้เหรียญจากทุกสามประเภท

โดยใช้หลักการรวมเซต (Principle of Inclusion-Exclusion)   |R ∪ S ∪ C| = |R| + |S| + |C| - (|R∩S| + |R∩C| + |S∩C|) + |R∩S∩C|

แทนค่าได้ว่า   46 = 37 + 13 + 19 - (|R∩S|+|R∩C|+|S∩C|) + 3   46 = 69 - (|R∩S|+|R∩C|+|S∩C|) + 3   |R∩S|+|R∩C|+|S∩C| = 69 + 3 - 46 = 26

โดยในส่วนนี้ นักกีฬาที่ได้เหรียญจากทั้งสองประเภท (แต่ไม่ได้รับในทุกประเภท) จะนับรวมในผลบวกของ intersections ครั้งละ 1 ส่วนนักกีฬาที่ได้เหรียญจากทุกประเภท (3 คน) จะถูกนับรวมในแต่ละ intersection ทั้ง 3 intersection (นับรวมทั้งหมด 3×3 = 9)

ดังนั้นจำนวนนักกีฬาที่ได้เหรียญจากสองประเภทเท่านั้น = 26 - 9 = 17 คน

ดังนั้นคำตอบคือ ตัวเลือก "17 คน"

{"correct_answer_key": "c"}

เรารวมจำนวนเหรียญที่ได้จากการแข่งขันทั้งสามประเภทได้ 37 + 13 + 19 = 69 เหรียญ โดยนักกีฬาที่ได้รับเหรียญมีทั้งหมด 46 คน ซึ่งมีนักกีฬาที่ได้รับเหรียญจากทุกประเภท 3 คน เท่ากับนักกีฬาที่ได้เหรียญเพียง 1 ประเภท (x คน) และนักกีฬาที่ได้เหรียญจาก 2 ประเภท (y คน) จึงได้สมการดังนี้

x + y + 3 = 46 → x = 43 - y
และเหรียญที่ได้รวมกันคือ x + 2y + 3×3 = 69
แทนค่า x = 43 - y ลงในสมการจะได้
(43 - y) + 2y + 9 = 69 → 43 + 9 + y = 69 → y = 69 - 52 = 17

ดังนั้น มีนักกีฬาที่ได้รับเหรียญจากสองประเภทเท่านั้น 17 คน

{"correct_answer_key": "c"}

We first note that the sum of medals in the three sports is 37 + 13 + 19 = 69. Let S be the number of athletes who received medals in only one sport, D be the number of athletes who received medals in exactly two sports, and T be those who received medals in all three sports (which is given as 3). Since there are 46 athletes in total, we have:
  S + D + T = 46 → S + D = 43.
Also, counting the medals by athlete we have:
  S + 2D + 3T = 69 → S + 2D + 9 = 69 → S + 2D = 60.
Subtracting the first equation from this gives:
  (S + 2D) − (S + D) = 60 − 43 → D = 17.

Thus, 17 athletes received medals in exactly two sports.

{"correct_answer_key": "c"}

จากการใช้หลักนับแบบ Inclusion–Exclusion
46 = 37 + 13 + 19 – (ผลรวมการตัดกันเป็นคู่) + 3
⇒ ผลรวมการตัดกันเป็นคู่ = 26
จำนวนที่ได้สองประเภทเท่านั้น = 26 – 3×3 = 17 คน

{"correct_answer_key":"c"}

คำอธิบาย:
จากหลักการนับแบบคร่อม (inclusion–exclusion)
รวมจำนวนเหรียญทั้งหมด = 37+13+19 – (ผลรวมการคร่อมคู่) + 3 = 46
ดังนั้น ผลรวมการคร่อมคู่ = 37+13+19+3 – 46 = 26
จำนวนที่ได้เหรียญจากสองประเภทเท่านั้น = 26 – 3×3 = 17 คน

{"correct_answer_key":"c"}

วิธีทำ: ใช้หลักนับแบบกวาดรวม (Inclusion-Exclusion)
รวมผู้ได้เหรียญ = 37+13+19 – (ผลรวมการได้สองประเภท) + 3 = 46
ดังนั้น ผลรวมการได้สองประเภท = 37+13+19+3–46 = 26
ผู้ได้เหรียญ “สองประเภทเท่านั้น” = 26 – 3×(ได้ทุกสามประเภท) = 26 – 9 = 17 คน

{"correct_answer_key":"c"}

ในการแก้ปัญหานี้ เราสามารถใช้หลักการการบวกและลบของเซตเพื่อหาจำนวนนักกีฬาที่ได้รับเหรียญรางวัลจากสองประเภทกีฬาเท่านั้น

ให้:

• ( A ) คือจำนวนนักกีฬาที่ได้รับเหรียญจากกีฬาวิ่ง = 37
• ( B ) คือจำนวนนักกีฬาที่ได้รับเหรียญจากกีฬาว่ายน้ำ = 13
• ( C ) คือจำนวนนักกีฬาที่ได้รับเหรียญจากกีฬาปันจักรยาน = 19
• ( |A \cup B \cup C| ) คือจำนวนนักกีฬาที่ได้รับเหรียญรางวัลทั้งหมด = 46
• ( |A \cap B \cap C| ) คือจำนวนนักกีฬาที่ได้รับเหรียญจากทุกประเภทกีฬา = 3

เราต้องหาจำนวนนักกีฬาที่ได้รับเหรียญจากสองประเภทกีฬาเท่านั้น ซึ่งสามารถแสดงได้ด้วย: [ |A \cap B| + |A \cap C| + |B \cap C| - 3 \times |A \cap B \cap C| ]

โดยใช้หลักการการบวกและลบของเซต: [ |A \cup B \cup C| = |A| + |B| + |C| - |A \cap B| - |A \cap C| - |B \cap C| + |A \cap B \cap C| ]

แทนค่าที่รู้: [ 46 = 37 + 13 + 19 - |A \cap B| - |A \cap C| - |B \cap C| + 3 ]

[ 46 = 69 - (|A \cap B| + |A \cap C| + |B \cap C|) + 3 ]

[ 46 = 72 - (|A \cap B| + |A \cap C| + |B \cap C|) ]

[ |A \cap B| + |A \cap C| + |B \cap C| = 72 - 46 = 26 ]

จากนั้น จำนวนนักกีฬาที่ได้รับเหรียญจากสองประเภทกีฬาเท่านั้นคือ: [ |A \cap B| + |A \cap C| + |B \cap C| - 3 \times |A \cap B \cap C| = 26 - 3 \times 3 = 26 - 9 = 17 ]

ดังนั้น จำนวนนักกีฬาที่ได้รับเหรียญจากสองประเภทกีฬาเท่านั้นคือ 17 คน ซึ่งตอบคำถามในตัวเลือก C

{"correct_answer_key":"c"}

เราสามารถแก้ปัญหานี้โดยใช้หลักการของการนับแบบรวมกลุ่ม (Principle of Inclusion-Exclusion) เพื่อหาจำนวนนักกีฬาที่ได้เหรียญรางวัลจากสองประเภทกีฬาเท่านั้น

ข้อมูลที่เราทราบ:

1. นักกีฬาที่ได้เหรียญรางวัลจากกีฬาวิ่ง = 37 คน
2. นักกีฬาที่ได้เหรียญรางวัลจากกีฬาว่ายน้ำ = 13 คน
3. นักกีฬาที่ได้เหรียญรางวัลจากกีฬาปั่นจักรยาน = 19 คน
4. นักกีฬาที่ได้เหรียญรางวัลทั้งหมด = 46 คน
5. นักกีฬาที่ได้เหรียญรางวัลจากทั้งสามประเภท = 3 คน

วิธีการคำนวณ:

เราจะใช้สูตรรวมกลุ่มเพื่อหาจำนวนนักกีฬาที่ได้เหรียญรางวัลจากสองประเภทกีฬาเท่านั้น:

$$ |A \cup B \cup C| = |A| + |B| + |C| - |A \cap B| - |B \cap C| - |C \cap A| + |A \cap B \cap C| $$

โดยที่:

• $ |A \cup B \cup C| $ คือจำนวนนักกีฬาทั้งหมดที่ได้เหรียญรางวัล = 46 คน
• $ |A| $ คือจำนวนนักกีฬาที่ได้เหรียญรางวัลจากกีฬาวิ่ง = 37 คน
• $ |B| $ คือจำนวนนักกีฬาที่ได้เหรียญรางวัลจากกีฬาว่ายน้ำ = 13 คน
• $ |C| $ คือจำนวนนักกีฬาที่ได้เหรียญรางวัลจากกีฬาปั่นจักรยาน = 19 คน
• $ |A \cap B \cap C| $ คือจำนวนนักกีฬาที่ได้เหรียญรางวัลจากทั้งสามประเภท = 3 คน

เราต้องการหาจำนวนนักกีฬาที่ได้เหรียญรางวัลจากสองประเภทกีฬาเท่านั้น ซึ่งสามารถคำนวณได้โดย:

$$ |A \cap B| + |B \cap C| + |C \cap A| - 3 \times |A \cap B \cap C| $$

ขั้นตอนการคำนวณ:

1. รวมจำนวนนักกีฬาที่ได้เหรียญรางวัลจากทั้งสามกลุ่ม: $$ 37 + 13 + 19 = 69 $$

2. ลบจำนวนนักกีฬาทั้งหมดที่ได้เหรียญรางวัล: $$ 69 - 46 = 23 $$

3. ลบจำนวนนักกีฬาที่ได้เหรียญรางวัลจากทั้งสามประเภท (ซึ่งนับซ้ำ 3 ครั้ง): $$ 23 - 3 \times 3 = 14 $$

ดังนั้น จำนวนนักกีฬาที่ได้เหรียญรางวัลจากสองประเภทกีฬาเท่านั้นคือ 16 คน

คำตอบ:

{"correct_answer_key":"b"}

ในการแก้ปัญหานี้ เราใช้หลักการของการนับแบบ Inclusion-Exclusion โดยให้ข้อมูลดังนี้:

• นักกีฬาที่ได้เหรียญรางวัลจากกีฬาวิ่ง (R) = 37 คน
• นักกีฬาที่ได้เหรียญรางวัลจากกีฬาว่ายน้ำ (S) = 13 คน
• นักกีฬาที่ได้เหรียญรางวัลจากกีฬาปั่นจักรยาน (C) = 19 คน
• นักกีฬาทั้งหมดที่ได้เหรียญรางวัลอย่างน้อย 1 ประเภท = 46 คน
• นักกีฬาที่ได้เหรียญรางวัลทั้ง 3 ประเภท = 3 คน

จากสูตรการนับแบบ Inclusion-Exclusion: $$ |R \cup S \cup C| = |R| + |S| + |C| - |R \cap S| - |R \cap C| - |S \cap C| + |R \cap S \cap C| $$ แต่เราต้องการหาจำนวนนักกีฬาที่ได้เหรียญรางวัลจาก 2 ประเภทเท่านั้น ซึ่งสามารถคำนวณได้จาก: $$ \text{จำนวนนักกีฬาที่ได้เหรียญจาก 2 ประเภท} = (|R| + |S| + |C| - 3 \times |R \cap S \cap C|) - |R \cup S \cup C| $$ แทนค่า: $$ (37 + 13 + 19 - 3 \times 3) - 46 = (69 - 9) - 46 = 60 - 46 = 14 $$ อย่างไรก็ตาม การคำนวณนี้ผิดพลาด เนื่องจากต้องใช้สมการแยกเพื่อหาค่าที่ถูกต้อง โดยให้:

• $ a $ = จำนวนนักกีฬาที่ได้เหรียญจาก 1 ประเภท
• $ b $ = จำนวนนักกีฬาที่ได้เหรียญจาก 2 ประเภท
• $ c $ = จำนวนนักกีฬาที่ได้เหรียญจาก 3 ประเภท (คือ 3 คน)

จากข้อมูล: $$ a + b + c = 46 \quad \text{และ} \quad a + 2b + 3c = 37 + 13 + 19 = 69 $$ แทนค่า $ c = 3 $: $$ a + b = 43 \quad \text{และ} \quad a + 2b = 60 $$ แก้สมการ: $$ (a + 2b) - (a + b) = 60 - 43 \implies b = 17 $$

ดังนั้น จำนวนนักกีฬาที่ได้เหรียญจาก 2 ประเภทกีฬาเท่านั้นคือ 17 คน ซึ่งตรงกับตัวเลือก c.

{"correct_answer_key":"c"}

{"correct_answer_key":"c"}

{"correct_answer_key":"c"}

นักกีฬาทั้งหมดที่ได้เหรียญรางวัลคือ 46 คน โดยมี 3 คนที่ได้เหรียญทุกประเภท เราต้องการหาจำนวนนักกีฬาที่ได้เหรียญจากสองประเภทเท่านั้น ใช้หลักการคณิตศาสตร์ของเซต 3 เซต

1. รวมนักกีฬาแต่ละกีฬา:

   • วิ่ง = 37 คน
   • ว่ายน้ำ = 13 คน
   • ปันจักรยาน = 19 คน
     รวมกัน = 37 + 13 + 19 = 69 คน

2. คำนวณการทับซ้อน:
   ใช้สูตร รวมทั้งหมด = รวมแต่ละเซต - ค่าทับซ้อนของคู่ + ค่าทับซ้อนทั้งสาม
   46 = 69 - (A∩B + A∩C + B∩C) + 3
   → (A∩B + A∩C + B∩C) = 69 + 3 - 46 = 26

3. แยกค่าทับซ้อนสองประเภท:
   ค่าทับซ้อนทั้งสาม (3 คน) ถูกนับซ้ำในแต่ละคู่ ดังนั้น:
   (A∩B + A∩C + B∩C) = (จำนวนนักกีฬาที่ได้สองประเภท) + 3×3
   → 26 = (จำนวนที่ต้องการ) + 9
   → จำนวนที่ต้องการ = 26 − 9 = 17 คน

ดังนั้น นักกีฬาที่ได้เหรียญสองประเภทเท่านั้นคือ 17 คน ตรงกับตัวเลือก C.

{"correct_answer_key":"c"}

ในการแข่งขันกีฬาสามประเภท มีนักกีฬา 37 คนได้เหรียญรางวัลจากกีฬาวิ่ง, 13 คนได้เหรียญรางวัลจากกีฬาว่ายน้ำ, และ 19 คนได้เหรียญรางวัลจากกีฬาปันจักรยาน. ถ้ามีนักกีฬาที่ได้รับเหรียญรางวัลทั้งหมด 46 คน และมีเพียง 3 คนที่ได้เหรียญรางวัลจากทุกประเภทกีฬา เราสามารถใช้หลักการรวมและการยกเว้นเพื่อหาจำนวนนักกีฬาที่ได้เหรียญจากสองประเภทกีฬาเท่านั้น

เริ่มต้นด้วยการรวมจำนวนนักกีฬาที่ได้เหรียญรางวัลจากแต่ละประเภทกีฬา: 37 (วิ่ง) + 13 (ว่ายน้ำ) + 19 (ปันจักรยาน) = 69

แต่เรารู้ว่ามีนักกีฬาที่ได้รับเหรียญรางวัลทั้งหมด 46 คน ดังนั้นเราต้องลบจำนวนนักกีฬาที่ได้เหรียญรางวัลจากสองประเภทกีฬาและจากทุกประเภทกีฬา: 69 - 46 = 23

เนื่องจากมีนักกีฬา 3 คนที่ได้เหรียญรางวัลจากทุกประเภทกีฬา เราต้องลบจำนวนนี้ออกจาก 23: 23 - 3 = 20

แต่เราต้องคำนึงถึงนักกีฬาที่ได้เหรียญรางวัลจากสองประเภทกีฬาเท่านั้น ดังนั้นเราต้องหาร 20 ด้วย 2 (เนื่องจากนักกีฬาที่ได้เหรียญรางวัลจากสองประเภทกีฬาได้รับการนับสองครั้ง): 20 / 2 = 10

ดังนั้น จำนวนนักกีฬาที่ได้เหรียญจากสองประเภทกีฬาเท่านั้นคือ 10 + 3 (นักกีฬาที่ได้เหรียญรางวัลจากทุกประเภทกีฬา) = 13

{"correct_answer_key":"a"}

{
  "correct_answer_key": "c"
}