Thai O-NET Tests - คณิตศาสตร์ - 2021 ข้อ 3

Let's solve this step by step:

1. From "ถ้ามานีตั้งใจเรียนแล้วมานีสอบผ่าน" being false:

   • This means มานีตั้งใจเรียน is true but มานีสอบผ่าน is false OR
   • มานีตั้งใจเรียน is true and มานีสอบผ่าน is false

2. From "มานีเป็นหัวหน้าห้องหรือมานีสอบผ่าน" being true:

   • Either มานีเป็นหัวหน้าห้อง is true OR มานีสอบผ่าน is true
   • Since we know มานีสอบผ่าน is false from (1)
   • Therefore, มานีเป็นหัวหน้าห้อง must be true

3. Looking at the options, option D "ถ้ามานีเป็นหัวหน้าห้องแล้วมานีไม่ตั้งใจเรียน" is true because:

   • We know มานีเป็นหัวหน้าห้อง is true
   • And มานีไม่ตั้งใจเรียน is false (from point 1)
   • Therefore, this implication is true

{"correct_answer_key":"d"}

Let me analyze this logical problem step by step:

Given:

1. "If Manee studies hard, then Manee passes the exam" is FALSE
2. "Manee is the class president OR Manee passes the exam" is TRUE

From statement 1 being false, we know that Manee studies hard BUT does not pass the exam. From statement 2 being true, either Manee is the class president OR Manee passes the exam (or both).

Since we know Manee doesn't pass the exam (from statement 1), the only way for statement 2 to be true is if Manee is the class president.

So we have:

• Manee studies hard
• Manee does NOT pass the exam
• Manee IS the class president

Now let's check each option:

a) "Manee doesn't study hard OR Manee passes the exam" - Both parts are false, so this is false b) "Manee passes the exam AND Manee is not the class president" - First part is false, so this is false c) "Manee studies hard if and only if Manee passes the exam" - Manee studies hard but doesn't pass, so this is false d) "If Manee is the class president, then Manee doesn't study hard" - Manee IS the class president and DOES study hard, so this is false e) "Manee is the class president if and only if Manee doesn't pass the exam" - Manee IS the class president AND doesn't pass the exam, so this is true

{"correct_answer_key":"e"}

Let me solve this step-by-step:

Given:

1. "If Manee studies hard, then Manee passes the exam" is FALSE
2. "Manee is a class leader or Manee passes the exam" is TRUE

From the first statement being false, I can determine that Manee studies hard BUT doesn't pass the exam (since a conditional is false only when the antecedent is true and consequent is false).

From the second statement being true, and knowing Manee doesn't pass the exam, Manee must be a class leader.

So we know:

• Manee studies hard
• Manee doesn't pass the exam
• Manee is a class leader

Testing each option: e) "Manee is a class leader if and only if Manee doesn't pass the exam" This is the only statement that's TRUE under our conditions, since both parts are true.

{"correct_answer_key":"e"}

Let me analyze this logic problem step by step.

Let's define:

• p: มานีตั้งใจเรียน (Manee studies hard)
• q: มานีสอบผ่าน (Manee passes the exam)
• r: มานีเป็นหัวหน้าห้อง (Manee is class leader)

Given information:

1. "ถ้ามานีตั้งใจเรียนแล้วมานีสอบผ่าน" เป็นเท็จ (p → q is FALSE)

   • This means p is TRUE and q is FALSE (มานีตั้งใจเรียน but มานีสอบไม่ผ่าน)

2. "มานีเป็นหัวหน้าห้องหรือมานีสอบผ่าน" เป็นจริง (r ∨ q is TRUE)

   • Since q is FALSE, r must be TRUE (มานีเป็นหัวหน้าห้อง)

So we have: p = TRUE, q = FALSE, r = TRUE

Now checking each option: a) ¬p ∨ q = FALSE ∨ FALSE = FALSE b) q ∧ ¬r = FALSE ∧ FALSE = FALSE c) p ↔ q = TRUE ↔ FALSE = FALSE d) r → ¬p = TRUE → FALSE = FALSE e) r ↔ ¬q = TRUE ↔ TRUE = TRUE

Option e is correct: "มานีเป็นหัวหน้าห้องก็ต่อเมื่อมานีสอบไม่ผ่าน" (Manee is class leader if and only if Manee doesn't pass the exam)

{"correct_answer_key": "e"}

Let me analyze this Thai logic problem step by step.

Given:

• "If Manee studies hard, then Manee passes the exam" is FALSE
• "Manee is class president or Manee passes the exam" is TRUE

Let P = Manee studies hard, Q = Manee passes the exam, R = Manee is class president

From the first statement (P → Q) being FALSE: This only happens when P is TRUE and Q is FALSE. So: Manee studies hard (P = TRUE) but doesn't pass the exam (Q = FALSE)

From the second statement (R ∨ Q) being TRUE with Q = FALSE: R must be TRUE. So: Manee is class president (R = TRUE)

Now checking each option with P = TRUE, Q = FALSE, R = TRUE:

• a) ¬P ∨ Q = FALSE ∨ FALSE = FALSE
• b) Q ∧ ¬R = FALSE ∧ FALSE = FALSE
• c) P ↔ Q = TRUE ↔ FALSE = FALSE
• d) R → ¬P = TRUE → FALSE = FALSE
• e) R ↔ ¬Q = TRUE ↔ TRUE = TRUE

Option e states "Manee is class president if and only if Manee doesn't pass the exam," which evaluates to TRUE.

{"correct_answer_key":"e"}

Let me analyze this step by step.

Given:

• "If Manee studies hard, then Manee passes the exam" is FALSE
• "Manee is class president or Manee passes the exam" is TRUE

From the first statement being false, we know that Manee studies hard AND Manee does NOT pass the exam. So: Manee studies hard = TRUE, Manee passes = FALSE

From the second statement being true and knowing Manee doesn't pass, Manee must be class president. So: Manee is class president = TRUE

Now checking each option: a) "Manee doesn't study hard or Manee passes" = FALSE or FALSE = FALSE b) "Manee passes and Manee is not class president" = FALSE and FALSE = FALSE
c) "Manee studies hard if and only if Manee passes" = TRUE ↔ FALSE = FALSE d) "If Manee is class president, then Manee doesn't study hard" = TRUE → FALSE = FALSE e) "Manee is class president if and only if Manee doesn't pass" = TRUE ↔ TRUE = TRUE

{"correct_answer_key": "e"}

Let me analyze this logic problem step by step.

Given:

• "If Manee studies hard, then Manee passes the exam" is FALSE
• "Manee is class president OR Manee passes the exam" is TRUE

From the first statement being false, we know that Manee studies hard BUT does NOT pass the exam.

From the second statement being true, and knowing Manee doesn't pass the exam, Manee must be the class president.

So we have:

• Manee studies hard (TRUE)
• Manee doesn't pass the exam (FALSE)
• Manee is class president (TRUE)

Checking option e: "Manee is class president if and only if Manee doesn't pass the exam" This is TRUE ↔ TRUE = TRUE

{"correct_answer_key":"e"}

Let me analyze this step by step.

Given information:

1. "If Mani studies hard, then Mani passes the exam" is FALSE
2. "Mani is class president OR Mani passes the exam" is TRUE

From statement 1 being false: For an implication to be false, the antecedent must be true and the consequent must be false. Therefore:

• Mani studies hard = TRUE
• Mani passes the exam = FALSE

From statement 2 being true and knowing Mani doesn't pass the exam:

• Since "Mani passes the exam" is FALSE, for the disjunction to be TRUE, "Mani is class president" must be TRUE

So we have established:

• Mani studies hard = TRUE
• Mani passes the exam = FALSE
• Mani is class president = TRUE

Now checking each option:

a) "Mani doesn't study hard OR Mani passes the exam" = FALSE OR FALSE = FALSE b) "Mani passes the exam AND Mani is not class president" = FALSE AND FALSE = FALSE c) "Mani studies hard if and only if Mani passes the exam" = TRUE ↔ FALSE = FALSE d) "If Mani is class president, then Mani doesn't study hard" = TRUE → FALSE = FALSE e) "Mani is class president if and only if Mani doesn't pass the exam" = TRUE ↔ TRUE = TRUE

{"correct_answer_key":"e"}

Looking at this logic problem, I need to determine what we know from the given conditions:

From "ถ้ามานีตั้งใจเรียนแล้วมานีสอบผ่าน" being FALSE:

• An implication P→Q is false only when P is true and Q is false
• So: Manee studies hard (TRUE) and Manee does NOT pass the exam (FALSE)

From "มานีเป็นหัวหน้าห้องหรือมานีสอบผ่าน" being TRUE:

• Since we know Manee does NOT pass the exam (FALSE), for this OR statement to be TRUE
• Manee must be class leader (TRUE)

Summary: Manee studies hard (TRUE), does not pass exam (FALSE), is class leader (TRUE)

Checking option e: "มานีเป็นหัวหน้าห้องก็ต่อเมื่อมานีสอบไม่ผ่าน" "Manee is class leader if and only if Manee does not pass the exam"

• Manee is class leader (TRUE) ↔ Manee does not pass exam (TRUE)
• TRUE ↔ TRUE = TRUE

{"correct_answer_key":"e"}

To solve this problem, let's break down the given information and analyze each option step by step.

Given:

1. “ถ้ามานีตั้งใจเรียนแล้วมานีสอบผ่าน” is false.

   • This implies: If มานีตั้งใจเรียน (Manee studies hard), then มานีสอบผ่าน (Manee passes the exam) is false.
   • Therefore, มานีตั้งใจเรียน (Manee studies hard) must be true, but มานีสอบผ่าน (Manee passes the exam) must be false.

2. “มานีเป็นหัวหน้าห้องหรือมานีสอบผ่าน” is true.

   • This implies: Either มานีเป็นหัวหน้าห้อง (Manee is the class leader) or มานีสอบผ่าน (Manee passes the exam) is true.
   • Since we know มานีสอบผ่าน is false, มานีเป็นหัวหน้าห้อง (Manee is the class leader) must be true.

Summary of Known Facts:

• มานีตั้งใจเรียน (Manee studies hard) = True
• มานีสอบผ่าน (Manee passes the exam) = False
• มานีเป็นหัวหน้าห้อง (Manee is the class leader) = True

Analyzing the Options:

a. มานีไม่ตั้งใจเรียนหรือมาสอบผ่าน

• Manee does not study hard or Manee passes the exam.
• Since มานีตั้งใจเรียน is true and มานีสอบผ่าน is false, this statement is false.

b. มานีสอบผ่านและมานไม่เป็นหัวหน้าห้อง

• Manee passes the exam and Manee is not the class leader.
• Since มานีสอบผ่าน is false and มานีเป็นหัวหน้าห้อง is true, this statement is false.

c. มานี้ตั้งใจเรียนก็ต่อเมื่อมานีสอบผ่าน

• If Manee studies hard, then Manee passes the exam.
• This is the contrapositive of the first given statement, which is false. Therefore, this statement is false.

d. ถ้ามานีเป็นหัวหน้าห้องแล้วมานีไม่ตั้งใจเรียน

• If Manee is the class leader, then Manee does not study hard.
• Since มานีเป็นหัวหน้าห้อง is true and มานีตั้งใจเรียน is true, this statement is false.

e. มานีเป็นหัวหน้าห้องก็ต่อเมื่อมานีสอบไม่ผ่าน

• Manee is the class leader if and only if Manee does not pass the exam.
• Since มานีเป็นหัวหน้าห้อง is true and มานีสอบผ่าน is false, this statement is true.

Correct Answer:

{"correct_answer_key":"e"}

Understanding the Problem

We are given two logical statements in Thai, along with their truth values, and need to determine which of the provided options is true based on these conditions.

Given Statements:

1. Statement 1: "ถ้ามานีตั้งใจเรียนแล้วมานีสอบผ่าน" (If Manee studies hard, then Manee passes the exam)

   • Truth value: False (F)

2. Statement 2: "มานีเป็นหัวหน้าห้องหรือมานีสอบผ่าน" (Manee is the class president or Manee passes the exam)

   • Truth value: True (T)

Symbolic Representation:

• Let:
  • ( P ): Manee studies hard (มานีตั้งใจเรียน)
  • ( Q ): Manee passes the exam (มานีสอบผ่าน)
  • ( R ): Manee is the class president (มานีเป็นหัวหน้าห้อง)

Rewriting the Given Statements:

1. Statement 1: ( P \rightarrow Q ) (If ( P ), then ( Q ))

   • Given as False.
   • Recall that ( P \rightarrow Q ) is only false when ( P ) is true and ( Q ) is false.
   • Thus:
     • ( P = T ) (Manee studies hard)
     • ( Q = F ) (Manee does not pass the exam)

2. Statement 2: ( R \lor Q ) (( R ) or ( Q ))

   • Given as True.
   • We already know ( Q = F ), so for ( R \lor Q ) to be true:
     • ( R ) must be true (Manee is the class president).

Summary of Truth Values:

• ( P = T ) (Manee studies hard)
• ( Q = F ) (Manee does not pass the exam)
• ( R = T ) (Manee is the class president)

Evaluating the Options

Now, we evaluate each option to see which one is true given the above truth values.

Option A: "มานีไม่ตั้งใจเรียนหรือมานีสอบผ่าน"

• Symbolic: ( \neg P \lor Q )
• Substituting: ( \neg T \lor F = F \lor F = F )
• Result: False

Option B: "มานีสอบผ่านและมานีไม่เป็นหัวหน้าห้อง"

• Symbolic: ( Q \land \neg R )
• Substituting: ( F \land \neg T = F \land F = F )
• Result: False

Option C: "มานีตั้งใจเรียนก็ต่อเมื่อมานีสอบผ่าน"

• Symbolic: ( P \leftrightarrow Q ) (Manee studies hard if and only if Manee passes the exam)
• Substituting: ( T \leftrightarrow F = F )
• Result: False

Option D: "ถ้ามานีเป็นหัวหน้าห้องแล้วมานีไม่ตั้งใจเรียน"

• Symbolic: ( R \rightarrow \neg P )
• Substituting: ( T \rightarrow \neg T = T \rightarrow F = F )
• Result: False

Option E: "มานีเป็นหัวหน้าห้องก็ต่อเมื่อมานีสอบไม่ผ่าน"

• Symbolic: ( R \leftrightarrow \neg Q )
• Substituting: ( T \leftrightarrow \neg F = T \leftrightarrow T = T )
• Result: True

Final Answer

The correct option is E, as it is the only one that evaluates to true under the given conditions.

{"correct_answer_key":"e"}

Explanation:
กำหนดให้:

• ประพจน์ “ถ้ามานีตั้งใจเรียนแล้วมานีสอบผ่าน” (ซึ่งคือ ( p \rightarrow q )) มีค่าความจริงเป็นเท็จ
• ประพจน์ “มานีเป็นหัวหน้าห้องหรือมานีสอบผ่าน” (ซึ่งคือ ( r \vee q )) มีค่าความจริงเป็นจริง

จาก ( p \rightarrow q ) เป็นเท็จ ได้เฉพาะกรณีที่ ( p ) เป็นจริง และ ( q ) เป็นเท็จ (เพราะหาก ( p ) เป็นจริงและ ( q ) เป็นเท็จ จะทำให้ ( p \rightarrow q ) เท็จ)
ดังนั้น:

• ( p ) (มานีตั้งใจเรียน) เป็นจริง
• ( q ) (มานีสอบผ่าน) เป็นเท็จ

จาก ( r \vee q ) เป็นจริง และ ( q ) เป็นเท็จ ดังนั้น ( r ) (มานีเป็นหัวหน้าห้อง) ต้องเป็นจริง (เพราะถ้า ( r ) เป็นเท็จด้วย จะทำให้ ( r \vee q ) เท็จ)
สรุปค่าความจริง:

• ( p ) = จริง (ตั้งใจเรียน)
• ( q ) = เท็จ (สอบไม่ผ่าน)
• ( r ) = จริง (เป็นหัวหน้าห้อง)

ตรวจสอบตัวเลือก:
a) “มานีไม่ตั้งใจเรียนหรือมานีสอบผ่าน” คือ ( \neg p \vee q )

• ( \neg p ) เป็นเท็จ (เพราะ ( p ) จริง), ( q ) เป็นเท็จ → ( \neg p \vee q ) เป็นเท็จ

b) “มานีสอบผ่านและมานีไม่เป็นหัวหน้าห้อง” คือ ( q \wedge \neg r )

• ( q ) เป็นเท็จ, ( \neg r ) เป็นเท็จ (เพราะ ( r ) จริง) → ( q \wedge \neg r ) เป็นเท็จ

c) “มานีตั้งใจเรียนก็ต่อเมื่อมานีสอบผ่าน” คือ ( p \leftrightarrow q )

• ( p ) จริง, ( q ) เท็จ → ( p \leftrightarrow q ) เป็นเท็จ

d) “ถ้ามานีเป็นหัวหน้าห้องแล้วมานีไม่ตั้งใจเรียน” คือ ( r \rightarrow \neg p )

• ( r ) จริง, ( \neg p ) เท็จ → ( r \rightarrow \neg p ) เป็นเท็จ (เพราะจริง→เท็จ ให้เท็จ)

e) “มานีเป็นหัวหน้าห้องก็ต่อเมื่อมานีสอบไม่ผ่าน” คือ ( r \leftrightarrow \neg q )

• ( r ) จริง, ( \neg q ) จริง (เพราะ ( q ) เท็จ) → ( r \leftrightarrow \neg q ) เป็นจริง

ดังนั้น ตัวเลือก e มีค่าความจริงเป็นจริง

{"correct_answer_key":"e"}

Explanation:

จากประพจน์ที่กำหนด:

• "ถ้ามานีตั้งใจเรียนแล้วมานีสอบผ่าน" มีค่าความจริงเป็นเท็จ หมายความว่า มานีตั้งใจเรียน (P = true) แต่สอบไม่ผ่าน (Q = false) เนื่องจากประพจน์เงื่อนไข "ถ้า...แล้ว..." เป็นเท็จเมื่อส่วนต้นเป็นจริงและส่วนปลายเป็นเท็จ
• "มานีเป็นหัวหน้าห้องหรือมานีสอบผ่าน" มีค่าความจริงเป็นจริง และเนื่องจาก Q = false (จากข้างต้น) ดังนั้น มานีต้องเป็นหัวหน้าห้อง (R = true) เพื่อให้ประพจน์นี้เป็นจริง

ดังนั้น ค่าความจริงคือ:

• P (ตั้งใจเรียน) = true
• Q (สอบผ่าน) = false
• R (เป็นหัวหน้าห้อง) = true

ตรวจสอบตัวเลือก:

• a: "มานีไม่ตั้งใจเรียนหรือมานีสอบผ่าน" (¬P ∨ Q) = false ∨ false = false
• b: "มานีสอบผ่านและมานีไม่เป็นหัวหน้าห้อง" (Q ∧ ¬R) = false ∧ false = false
• c: "มานีตั้งใจเรียนก็ต่อเมื่อมานีสอบผ่าน" (P ↔ Q) = true ↔ false = false
• d: "ถ้ามานีเป็นหัวหน้าห้องแล้วมานีไม่ตั้งใจเรียน" (R → ¬P) = true → false = false
• e: "มานีเป็นหัวหน้าห้องก็ต่อเมื่อมานีสอบไม่ผ่าน" (R ↔ ¬Q) = true ↔ true = true

ดังนั้น ตัวเลือก e มีค่าความจริงเป็นจริง

{"correct_answer_key": "e"}

ประพจน์ “ถ้ามานีตั้งใจเรียนแล้วมานีสอบผ่าน” มีค่าความจริงเป็นเท็จ ซึ่งหมายความว่ามานีตั้งใจเรียน (จริง) แต่สอบไม่ผ่าน (เท็จ) และประพจน์ “มานีเป็นหัวหน้าห้องหรือมานีสอบผ่าน” มีค่าความจริงเป็นจริง เนื่องจากสอบไม่ผ่าน ดังนั้นมานีต้องเป็นหัวหน้าห้อง (จริง) ดังนั้น:

• มานีตั้งใจเรียน: จริง
• มานีสอบผ่าน: เท็จ
• มานีเป็นหัวหน้าห้อง: จริง

เมื่อตรวจสอบแต่ละตัวเลือก:

• ตัวเลือก a: มานีไม่ตั้งใจเรียนหรือมานีสอบผ่าน (ไม่ตั้งใจเรียนเท็จ หรือ สอบผ่านเท็จ) → เท็จ
• ตัวเลือก b: มานีสอบผ่านและมานีไม่เป็นหัวหน้าห้อง (สอบผ่านเท็จ และ ไม่เป็นหัวหน้าห้องเท็จ) → เท็จ
• ตัวเลือก c: มานีตั้งใจเรียนก็ต่อเมื่อมานีสอบผ่าน (จริง ก็ต่อเมื่อ เท็จ) → เท็จ
• ตัวเลือก d: ถ้ามานีเป็นหัวหน้าห้องแล้วมานีไม่ตั้งใจเรียน (จริง แล้วเท็จ) → เท็จ
• ตัวเลือก e: มานีเป็นหัวหน้าห้องก็ต่อเมื่อมานีสอบไม่ผ่าน (จริง ก็ต่อเมื่อ จริง) → จริง

ดังนั้นตัวเลือก e มีค่าความจริงเป็นจริง

{"correct_answer_key":"e"}

Let's break down this logic problem (which appears to be in Thai). The question translates to:

"Given that the proposition 'If Manee studies hard, then Manee passes the exam' is false, and 'Manee is the class president or Manee passes the exam' is true, which of the following propositions is true?"

Let:

• p: Manee studies hard
• q: Manee passes the exam
• r: Manee is class president

We are given:

1. p → q is false. This only happens when p is true and q is false.
2. r ∨ q is true. Since we know q is false, r must be true for this disjunction to be true.

Now let's evaluate each option:

• a) ¬p ∨ q: "Manee does not study hard or Manee passes the exam." We know p is true, so ¬p is false. We also know q is false. False ∨ False = False.

• b) q ∧ ¬r: "Manee passes the exam and Manee is not the class president." We know q is false and r is true, so ¬r is false. False ∧ False = False.

• c) p ↔ q: "Manee studies hard if and only if Manee passes the exam." A biconditional is true if both sides are the same truth value. p is true and q is false, so this is false.

• d) r → ¬p: "If Manee is the class president, then Manee does not study hard." r is true and p is true, so ¬p is false. True → False = False.

• e) r ↔ ¬q: "Manee is the class president if and only if Manee does not pass the exam." r is true and q is false, so ¬q is true. True ↔ True = True.

Therefore, option 'e' is the correct answer.

{"correct_answer_key": "e"}

Let's analyze the given information:

• "If Manee studies hard, then Manee passes the exam" is FALSE. This means Manee studies hard (T) and Manee fails the exam (F).
• "Manee is a class leader or Manee passes the exam" is TRUE. Since we know Manee fails the exam (F), Manee must be a class leader (T).

So, we have:

• Manee studies hard: TRUE
• Manee passes the exam: FALSE
• Manee is a class leader: TRUE

Now, let's evaluate each option:

• a) "Manee doesn't study hard or Manee passes the exam": F or F = F
• b) "Manee passes the exam and Manee is not a class leader": F and F = F
• c) "Manee studies hard if and only if Manee passes the exam": T iff F = F
• d) "If Manee is a class leader, then Manee doesn't study hard": T -> F = F
• e) "Manee is a class leader if and only if Manee doesn't pass the exam": T iff T = T

Therefore, option E is TRUE.

{"correct_answer_key":"e"}

Let's break down the problem:

• Premise 1: "If Manee studies hard, then Manee passes the exam" is false. This means Manee studied hard (antecedent is true) and didn't pass the exam (consequent is false). So, we know:

  • Manee studied hard (T)
  • Manee did not pass the exam (F)

• Premise 2: "Manee is the class monitor or Manee passes the exam" is true. Since we know Manee didn't pass the exam (from Premise 1), and the "or" statement is true, then Manee must be the class monitor. So, we know:

  • Manee is the class monitor (T)

Now let's evaluate the options:

• a) Manee does not study hard or passes the exam: Manee didn't pass (F), and she did study hard (T). So, this is F or T = True.
• b) Manee passes the exam and Manee is not the class monitor: Manee didn't pass (F), and she is the class monitor (T). So, this is F and T = False.
• c) Manee studies hard if and only if Manee passes the exam: Manee studied hard (T) but didn't pass (F). So, this is T <-> F = False.
• d) If Manee is the class monitor, then Manee does not study hard: Manee is the class monitor (T), and she did study hard (T). So, this is T -> F = False.
• e) Manee is the class monitor if and only if Manee does not pass the exam: Manee is the class monitor (T), and she didn't pass (F). So, this is T <-> F = False.

Therefore, only option A is true.

{"correct_answer_key": "a"}

The problem provides two propositional statements and their truth values, then asks to identify which of the given options is true.

Let's define the simple propositions:

• P: "มานีตั้งใจเรียน" (Manee studies hard)
• Q: "มานีสอบผ่าน" (Manee passes the exam)
• R: "มานีเป็นหัวหน้าห้อง" (Manee is the class president)

Given Information:

1. "ถ้ามานีตั้งใจเรียนแล้วมานีสอบผ่าน" (P → Q) has a truth value of FALSE. For an implication (P → Q) to be false, the antecedent (P) must be true, and the consequent (Q) must be false. Therefore:

   • P (มานีตั้งใจเรียน) is TRUE.
   • Q (มานีสอบผ่าน) is FALSE.

2. "มานีเป็นหัวหน้าห้องหรือมานีสอบผ่าน" (R ∨ Q) has a truth value of TRUE. We already know that Q (มานีสอบผ่าน) is FALSE. So, the statement becomes (R ∨ FALSE) is TRUE. For an OR statement to be true when one part is false, the other part must be true. Therefore:

   • R (มานีเป็นหัวหน้าห้อง) is TRUE.

Summary of Truth Values:

• P (มานีตั้งใจเรียน) = TRUE
• Q (มานีสอบผ่าน) = FALSE
• R (มานีเป็นหัวหน้าห้อง) = TRUE

Now, let's evaluate each option:

• a: "มานีไม่ตั้งใจเรียนหรือมาสอบผ่าน" (¬P ∨ Q) ¬TRUE ∨ FALSE = FALSE ∨ FALSE = FALSE

• b: "มานีสอบผ่านและมานไม่เป็นหัวหน้าห้อง" (Q ∧ ¬R) FALSE ∧ ¬TRUE = FALSE ∧ FALSE = FALSE

• c: "มานี้ตั้งใจเรียนก็ต่อเมื่อมานีสอบผ่าน" (P ↔ Q) TRUE ↔ FALSE = FALSE (For a biconditional to be true, both sides must have the same truth value)

• d: "ถ้ามานีเป็นหัวหน้าห้องแล้วมานีไม่ตั้งใจเรียน" (R → ¬P) TRUE → ¬TRUE = TRUE → FALSE = FALSE

• e: "มานีเป็นหัวหน้าห้องก็ต่อเมื่อมานีสอบไม่ผ่าน" (R ↔ ¬Q) TRUE ↔ ¬FALSE = TRUE ↔ TRUE = TRUE

Based on the evaluation, option e is the only statement that has a truth value of TRUE.

{"correct_answer_key":"e"}

The problem provides two logical statements (propositions) and their truth values, then asks to identify which of the given options is true. Let's denote the simple propositions as follows:

• P: มานีตั้งใจเรียน (Manee studies hard)
• Q: มานีสอบผ่าน (Manee passes the exam)
• R: มานีเป็นหัวหน้าห้อง (Manee is the class president)

Given information:

1. "ถ้ามานีตั้งใจเรียนแล้วมานีสอบผ่าน" (If P then Q) is False. In logic, an "if P then Q" statement (P → Q) is only false when P is true and Q is false. Therefore, from (P → Q) = False, we deduce:

   • P is True (มานีตั้งใจเรียน)
   • Q is False (มานีสอบไม่ผ่าน)

2. "มานีเป็นหัวหน้าห้องหรือมานีสอบผ่าน" (R or Q) is True. We already know Q is False. For (R or Q) to be True, and knowing Q is False, R must be True. Therefore, from (R or Q) = True and Q = False, we deduce:

   • R is True (มานีเป็นหัวหน้าห้อง)

Summary of truth values:

• P: True (มานีตั้งใจเรียน)
• Q: False (มานีสอบไม่ผ่าน)
• R: True (มานีเป็นหัวหน้าห้อง)

Now let's evaluate each option:

• a) มานีไม่ตั้งใจเรียนหรือมาสอบผ่าน (not P or Q) (not True or False) = (False or False) = False.

• b) มานีสอบผ่านและมานไม่เป็นหัวหน้าห้อง (Q and not R) (False and not True) = (False and False) = False.

• c) มานี้ตั้งใจเรียนก็ต่อเมื่อมานีสอบผ่าน (P if and only if Q) (True if and only if False) = False. (A biconditional is true only if both parts have the same truth value).

• d) ถ้ามานีเป็นหัวหน้าห้องแล้วมานีไม่ตั้งใจเรียน (If R then not P) (If True then not True) = (If True then False) = False.

• e) มานีเป็นหัวหน้าห้องก็ต่อเมื่อมานีสอบไม่ผ่าน (R if and only if not Q) (True if and only if not False) = (True if and only if True) = True.

Therefore, option e is the correct answer.

{"correct_answer_key":"e"}

จากโจทย์ "ถ้ามานีตั้งใจเรียนแล้วมานีสอบผ่าน" เป็นเท็จ แสดงว่า "มานีตั้งใจเรียน" เป็นจริง และ "มานีสอบผ่าน" เป็นเท็จ และจาก "มานีเป็นหัวหน้าห้องหรือมานีสอบผ่าน" เป็นจริง แต่เรารู้แล้วว่า "มานีสอบผ่าน" เป็นเท็จ ดังนั้น "มานีเป็นหัวหน้าห้อง" จึงต้องเป็นจริง สรุปได้ว่า:

• มานีตั้งใจเรียน (จริง)
• มานีสอบผ่าน (เท็จ)
• มานีเป็นหัวหน้าห้อง (จริง) เมื่อพิจารณาตัวเลือก e: "มานีเป็นหัวหน้าห้องก็ต่อเมื่อมานีสอบไม่ผ่าน" จะได้ว่า "จริง ก็ต่อเมื่อ ไม่เท็จ" ซึ่งคือ "จริง ก็ต่อเมื่อ จริง" ดังนั้นประพจน์นี้จึงมีค่าความจริงเป็นจริง

{"correct_answer_key":"e"}

Let's break down the given information using logical notation:

• Let P = "Manee studies diligently"
• Let Q = "Manee passes the exam"

We are given:

1. "If Manee studies diligently and Manee passes the exam" is false. This translates to (P ∧ Q) is False.
2. "Manee is class president or Manee passes the exam" is true. This translates to (R ∨ Q) is True, where R = "Manee is class president".

From (P ∧ Q) being False, we know that either P is False, or Q is False, or both are False.

From (R ∨ Q) being True, we know that either R is True, or Q is True, or both are True.

Now let's analyze the options:

• a) "Manee does not study diligently or Manee passes the exam": ¬P ∨ Q. We know Q could be true (from R ∨ Q), so this could be true.
• b) "Manee passes the exam and Manee is not class president": Q ∧ ¬R. We don't have enough information to determine this.
• c) "Manee studies diligently if and only if Manee passes the exam": P ↔ Q. This means (P → Q) ∧ (Q → P). Since (P ∧ Q) is false, it's unlikely this is true.
• d) "If Manee is class president then Manee does not study diligently": R → ¬P. We don't have enough information.
• e) "Manee is class president if and only if Manee does not pass the exam": R ↔ ¬Q. We don't have enough information.

Let's consider a scenario where Q is False. If Q is False, then from (R ∨ Q) being True, R must be True. Also, if Q is False, then (P ∧ Q) is False regardless of the value of P. In this case, ¬P ∨ Q becomes ¬P ∨ False, which is just ¬P. We don't know if P is true or false, so we can't say for sure.

Now, let's consider a scenario where Q is True. If Q is True, then (R ∨ Q) is True regardless of the value of R. Also, if Q is True, then (P ∧ Q) being False means P must be False. In this case, ¬P ∨ Q becomes True ∨ True, which is True.

Therefore, option a is the only one that could be true in all scenarios.

{"correct_answer_key":"a"}

The given propositions are:

• "ถ้ามานีตั้งใจเรียนแล้วมานีสอบผ่าน" (If Mani studies hard, then Mani passes the exam) is false. In logic, this implication is false only when the antecedent is true and the consequent is false. Thus, Mani studies hard (S = true) and Mani does not pass the exam (P = false).
• "มานีเป็นหัวหน้าห้องหรือมานีสอบผ่าน" (Mani is the class president or Mani passes the exam) is true. Since P is false, for the disjunction to be true, Mani must be the class president (H = true).

Therefore, the truth values are:

• S: true (Mani studies hard)
• P: false (Mani does not pass the exam)
• H: true (Mani is the class president)

Now, evaluate each option:

• a: "มานีไม่ตั้งใจเรียนหรือมานีสอบผ่าน" (not S or P) → false or false = false.
• b: "มานีสอบผ่านและมานีไม่เป็นหัวหน้าห้อง" (P and not H) → false and false = false (since not H is false).
• c: "มานีตั้งใจเรียนก็ต่อเมื่อมานีสอบผ่าน" (S iff P) → true iff false = false.
• d: "ถ้ามานีเป็นหัวหน้าห้องแล้วมานีไม่ตั้งใจเรียน" (H implies not S) → true implies false = false.
• e: "มานีเป็นหัวหน้าห้องก็ต่อเมื่อมานีสอบไม่ผ่าน" (H iff not P) → true iff true = true (since not P is true).

Option e is true because Mani is the class president (H = true) and Mani does not pass the exam (P = false, so not P = true), making the biconditional true.

{"correct_answer_key":"e"}

From the given propositions:

• "ถ้ามานีตั้งใจเรียนแล้วมานีสอบผ่าน" (If Manee studies hard, then Manee passes the exam) is false. This implies that Manee studies hard (S is true) but does not pass the exam (P is false), as an implication is only false when the antecedent is true and the consequent is false.
• "มานีเป็นหัวหน้าห้องหรือมานีสอบผ่าน" (Manee is the class president or Manee passes the exam) is true. Since P is false, this disjunction is true only if Manee is the class president (C is true).

Thus, we have:

• S: true (Manee studies hard)
• P: false (Manee does not pass the exam)
• C: true (Manee is the class president)

Evaluating the options:

• a: "มานีไม่ตั้งใจเรียนหรือมาสอบผ่าน" (¬S ∨ P) → false ∨ false = false
• b: "มานีสอบผ่านและมานไม่เป็นหัวหน้าห้อง" (P ∧ ¬C) → false ∧ false = false
• c: "มานี้ตั้งใจเรียนก็ต่อเมื่อมานีสอบผ่าน" (S ↔ P) → true ↔ false = false
• d: "ถ้ามานีเป็นหัวหน้าห้องแล้วมานีไม่ตั้งใจเรียน" (C → ¬S) → true → false = false
• e: "มานีเป็นหัวหน้าห้องก็ต่อเมื่อมานีสอบไม่ผ่าน" (C ↔ ¬P) → true ↔ true = true (since ¬P is true when P is false)

Only option e has a truth value of true.

{"correct_answer_key":"e"}

คำอธิบาย:
กำหนดให้

• “ถ้ามานีตั้งใจเรียนแล้วมานีสอบผ่าน” เป็นเท็จ หมายความว่า มานีตั้งใจเรียนแต่ไม่สอบผ่าน (เพราะประพจน์แบบ if-then จะเป็นเท็จเมื่อหน้าเป็นจริงแต่หลังเป็นเท็จ)
• “มานีเป็นหัวหน้าห้องหรือมานีสอบผ่าน” เป็นจริง หมายความว่า อย่างน้อยหนึ่งในสองข้อนี้เป็นจริง (มานีเป็นหัวหน้าห้องจริง หรือ มานีสอบผ่านจริง หรือทั้งสองอย่าง)

จากข้อแรก:

• มานีตั้งใจเรียน = จริง
• มานีสอบผ่าน = เท็จ

จากข้อสอง:

• มานีเป็นหัวหน้าห้อง = จริง (เพราะมานีสอบผ่าน = เท็จ แต่ประพจน์นี้ต้องเป็นจริง)

ตรวจสอบแต่ละตัวเลือก:
a) มานีไม่ตั้งใจเรียนหรือมานีสอบผ่าน = (เท็จ) หรือ (เท็จ) = เท็จ
b) มานีสอบผ่านและมานีไม่เป็นหัวหน้าห้อง = (เท็จ) และ (เท็จ) = เท็จ
c) มานีตั้งใจเรียนก็ต่อเมื่อมานีสอบผ่าน = (จริง) ↔ (เท็จ) = เท็จ
d) ถ้ามานีเป็นหัวหน้าห้องแล้วมานีไม่ตั้งใจเรียน = (จริง) → (เท็จ) = เท็จ
e) มานีเป็นหัวหน้าห้องก็ต่อเมื่อมานีสอบไม่ผ่าน = (จริง) ↔ (จริง) = จริง

ดังนั้น ข้อ e เป็นจริง

{"correct_answer_key":"e"}

โจทย์ให้ข้อมูลว่า

1. ประพจน์ "ถ้ามานีตั้งใจเรียนแล้วมานีสอบผ่าน" เป็นเท็จ หมายความว่า มานีตั้งใจเรียนจริง แต่สอบไม่ผ่าน
2. ประพจน์ "มานีเป็นหัวหน้าห้องหรือมานีสอบผ่าน" เป็นจริง หมายความว่า มานีเป็นหัวหน้าห้อง หรือ มานีสอบผ่าน (อย่างน้อยหนึ่งข้อเป็นจริง)

จากข้อ 1 เรารู้ว่า

• มานีตั้งใจเรียน = จริง
• มานีสอบผ่าน = เท็จ

จากข้อ 2

• มานีเป็นหัวหน้าห้อง หรือ มานีสอบผ่าน = จริง
• แต่เรารู้ว่า มานีสอบผ่าน = เท็จ
• ดังนั้น มานีเป็นหัวหน้าห้อง = จริง

สรุป:

• มานีตั้งใจเรียน = จริง
• มานีสอบผ่าน = เท็จ
• มานีเป็นหัวหน้าห้อง = จริง

ตรวจสอบแต่ละตัวเลือก:
a) "มานีไม่ตั้งใจเรียนหรือมาสอบผ่าน"
= (ไม่ตั้งใจเรียน) หรือ (สอบผ่าน)
= (เท็จ) หรือ (เท็จ) = เท็จ

b) "มานีสอบผ่านและมานไม่เป็นหัวหน้าห้อง"
= (เท็จ) และ (เท็จ) = เท็จ

c) "มานี้ตั้งใจเรียนก็ต่อเมื่อมานีสอบผ่าน"
ประพจน์ "p ก็ต่อเมื่อ q" หมายถึง p ⇔ q
= (ตั้งใจเรียน) ⇔ (สอบผ่าน)
= จริง ⇔ เท็จ = เท็จ

d) "ถ้ามานีเป็นหัวหน้าห้องแล้วมานีไม่ตั้งใจเรียน"
ประพจน์ "ถ้า p แล้ว q" หมายถึง p → q
= (เป็นหัวหน้าห้อง) → (ไม่ตั้งใจเรียน)
= จริง → เท็จ = เท็จ

e) "มานีเป็นหัวหน้าห้องก็ต่อเมื่อมานีสอบไม่ผ่าน"
= (เป็นหัวหน้าห้อง) ⇔ (สอบไม่ผ่าน)
= จริง ⇔ จริง = จริง

ดังนั้นคำตอบที่มีค่าความจริงเป็นจริงคือข้อ e

{"correct_answer_key":"e"}

จากข้อมูล:

• ประพจน์ “ถ้ามานีตั้งใจเรียนแล้วมานีสอบผ่าน” มีค่าความจริงเป็นเท็จ แปลว่า ถ้ามานีตั้งใจเรียน มานีไม่สอบผ่าน (เป็นเท็จ) ซึ่งหมายความว่า ถ้ามานีตั้งใจเรียน มานีไม่สอบผ่าน
• ประพจน์ “มานีเป็นหัวหน้าห้องหรือมานีสอบผ่าน” มีค่าความจริงเป็นจริง แปลว่า อย่างน้อยหนึ่งในสองเป็นจริง

เราจะวิเคราะห์แต่ละตัวเลือก:

a) “มานีไม่ตั้งใจเรียนหรือมานีสอบผ่าน”

• ถ้า “มานีไม่ตั้งใจเรียน” เป็นจริง หรือ “มานีสอบผ่าน” เป็นจริง ก็เป็นไปตามเงื่อนไขที่ให้มา

b) “มานีสอบผ่านและมานีไม่เป็นหัวหน้าห้อง”

• ไม่มีข้อมูลตรงนี้ในโจทย์ จึงไม่สามารถยืนยันได้

c) “มานีตั้งใจเรียนก็ต่อเมื่อมานีสอบผ่าน”

• เป็นเงื่อนไขที่ตรงกันข้ามกับข้อมูลแรก ซึ่งบ่งชี้ว่า ถ้ามานีตั้งใจเรียน มานีสอบผ่านเป็นเท็จ (ตามข้อมูลแรก) จึงเป็นไปไม่ได้

d) “ถ้ามานีเป็นหัวหน้าห้องแล้วมานีไม่ตั้งใจเรียน”

• ไม่มีข้อมูลสนับสนุนชัดเจน จึงไม่สามารถยืนยันได้

e) “มานีเป็นหัวหน้าห้องก็ต่อเมื่อมานีสอบไม่ผ่าน”

• ไม่มีข้อมูลสนับสนุนชัดเจน จึงไม่สามารถยืนยันได้

คำตอบที่สอดคล้องกับข้อมูลคือข้อ a) เพราะเป็นการสรุปความได้ว่า “มานีไม่ตั้งใจเรียนหรือมานีสอบผ่าน” เป็นจริงตามเงื่อนไขที่ให้มา

{"correct_answer_key":"a"}

ประพจน์ที่กำหนดมา คือ:

1. "ถ้ามานีตั้งใจเรียนแล้วมานีสอบผ่าน" เป็นเท็จ
   หมายความว่า มานีตั้งใจเรียน (จริง) แต่สอบผ่าน (เท็จ) เท่านั้นที่จะทำให้ประพจน์นี้เป็นเท็จ
   ดังนั้น เราได้ข้อมูลว่า:

   • มานีตั้งใจเรียน = จริง
   • มานีสอบผ่าน = เท็จ

2. "มานีเป็นหัวหน้าห้องหรือมานีสอบผ่าน" เป็นจริง
   แต่จากข้อแรกเรารู้แล้วว่า มานีสอบผ่าน = เท็จ ดังนั้น เพื่อให้ประพจน์นี้จริงได้ มานีต้องเป็นหัวหน้าห้อง = จริง

สรุปข้อมูลที่ได้คือ:

• มานีตั้งใจเรียน = จริง
• มานีสอบผ่าน = เท็จ
• มานีเป็นหัวหน้าห้อง = จริง

พิจารณาตัวเลือกแต่ละข้อ:

• ข้อ a: "มานีไม่ตั้งใจเรียนหรือมานีสอบผ่าน" → (เท็จหรือเท็จ) = เท็จ
• ข้อ b: "มานีสอบผ่านและมานีไม่เป็นหัวหน้าห้อง" → (เท็จและเท็จ) = เท็จ
• ข้อ c: "มานีตั้งใจเรียนก็ต่อเมื่อมานีสอบผ่าน" → (จริงก็ต่อเมื่อเท็จ) = เท็จ
• ข้อ d: "ถ้ามานีเป็นหัวหน้าห้องแล้วมานีไม่ตั้งใจเรียน" → (จริงแล้วเท็จ) = เท็จ
• ข้อ e: "มานีเป็นหัวหน้าห้องก็ต่อเมื่อมานีสอบไม่ผ่าน" → (จริงก็ต่อเมื่อจริง) = จริง

ดังนั้น ข้อที่ถูกต้องคือข้อ e

{"correct_answer_key":"e"}

จากประพจน์ที่กำหนด:

1. “ถ้ามานีตั้งใจเรียนแล้วมานีสอบผ่าน” มีค่าความจริงเป็นเท็จ หมายความว่า มานีตั้งใจเรียนแต่ไม่สอบผ่าน
2. “มานีเป็นหัวหน้าห้องหรือมานีสอบผ่าน” มีค่าความจริงเป็นจริง หมายความว่า มานีเป็นหัวหน้าห้อง หรือ มานีสอบผ่าน หรือทั้งสองอย่าง

จากข้อมูลข้างต้น มานีต้องเป็นหัวหน้าห้องเพราะมานีไม่สอบผ่าน

พิจารณาประพจน์ในตัวเลือก:

• ข้อ a: "มานีไม่ตั้งใจเรียนหรือมานีสอบผ่าน" มีค่าความจริงเป็นจริง เพราะมานีไม่สอบผ่านและตั้งใจเรียน
• ข้อ b: "มานีสอบผ่านและมานีไม่เป็นหัวหน้าห้อง" มีค่าความจริงเป็นเท็จ เพราะมานีไม่สอบผ่าน
• ข้อ c: "มานีตั้งใจเรียนก็ต่อเมื่อมานีสอบผ่าน" มีค่าความจริงเป็นเท็จ เพราะมานีตั้งใจเรียนแต่ไม่สอบผ่าน
• ข้อ d: "ถ้ามานีเป็นหัวหน้าห้องแล้วมานีไม่ตั้งใจเรียน" มีค่าความจริงเป็นเท็จ เพราะมานีเป็นหัวหน้าห้องและตั้งใจเรียน
• ข้อ e: "มานีเป็นหัวหน้าห้องก็ต่อเมื่อมานีสอบไม่ผ่าน" มีค่าความจริงเป็นจริง เพราะมานีเป็นหัวหน้าห้องและไม่สอบผ่าน

ดังนั้น ประพจน์ที่มีค่าความจริงเป็นจริงคือข้อ e

{"correct_answer_key":"e"}

ในการวิเคราะห์ประพจน์ที่ให้มา:

1. ประพจน์ “ถ้ามานีตั้งใจเรียนแล้วมานีสอบผ่าน” มีค่าความจริงเป็นเท็จ ซึ่งหมายความว่า มานีตั้งใจเรียนแต่สอบไม่ผ่าน (จริง = เท็จ)
2. ประพจน์ “มานีเป็นหัวหน้าห้องหรือมานีสอบผ่าน” มีค่าความจริงเป็นจริง ซึ่งหมายความว่า มานีเป็นหัวหน้าห้อง หรือ มานีสอบผ่าน (อย่างน้อยหนึ่งในสองประพจน์นี้ต้องเป็นจริง)

จากข้อมูลนี้ เราจะวิเคราะห์แต่ละตัวเลือก:

a. “มานีไม่ตั้งใจเรียนหรือมานีสอบผ่าน” - อาจเป็นจริงได้ แต่ไม่สามารถยืนยันได้จากข้อมูลที่มี b. “มานีสอบผ่านและมานีไม่เป็นหัวหน้าห้อง” - ไม่สามารถยืนยันได้ว่ามานีสอบผ่าน c. “มานีตั้งใจเรียนก็ต่อเมื่อมานีสอบผ่าน” - เป็นประพจน์ที่มีค่าความจริงเป็นเท็จ d. “ถ้ามานีเป็นหัวหน้าห้องแล้วมานีไม่ตั้งใจเรียน” - อาจเป็นจริงได้ e. “มานีเป็นหัวหน้าห้องก็ต่อเมื่อมานีสอบไม่ผ่าน” - อาจเป็นจริงได้

จากการวิเคราะห์ ตัวเลือกที่มีค่าความจริงเป็นจริงคือ "มานีไม่ตั้งใจเรียนหรือมานีสอบผ่าน" (a) เนื่องจากมานีไม่ตั้งใจเรียนและมานีสอบไม่ผ่าน

ดังนั้น คำตอบที่ถูกต้องคือ:

{"correct_answer_key":"a"}

ให้ P=มานีตั้งใจเรียน, Q=มานีสอบผ่าน, R=มานีเป็นหัวหน้าห้อง. เนื่องจาก P→Q เป็นเท็จ ⇒ P จริงและ Q เท็จ; และ R∨Q เป็นจริงโดยที่ Q เท็จ ⇒ R จริง. ตรวจแล้วมีเพียง e ที่เป็นจริง เพราะ R↔¬Q ให้ จริง↔จริง = จริง

{"correct_answer_key":"e"}

จากข้อมูล "ถ้า P แล้ว Q" เป็นเท็จ จึงได้ P จริง และ Q เท็จ. จาก "R หรือ Q" เป็นจริง และ Q เท็จ จึงได้ R จริง. ดังนั้น P=จริง, Q=เท็จ, R=จริง. ตรวจแต่ละตัวเลือกจะพบว่าเฉพาะข้อ (e) เป็นจริง (ทั้งถ้าแปลเป็น R→¬Q หรือ R↔¬Q ก็เป็นจริง).

{"correct_answer_key":"e"}

• กำหนด P = มานีตั้งใจเรียน, Q = มานีสอบผ่าน, H = มานีเป็นหัวหน้าห้อง
• ข้อความที่ให้: (P → Q) เท็จ → P เป็นจริงและ Q เป็นเท็จ
• ข้อความที่ให้ถัดมา: (H หรือ Q) จริง → เนื่องจาก Q เท็จ จะได้ H จริง
• ประเมินแต่ละตัวเลือก: a) (~P) OR Q = เท็จ b) Q AND ~H = เท็จ c) P → Q = เท็จ d) H → ~P = เท็จ e) H → ~Q = จริง
• ดังนั้นข้อที่จริงคือข้อ e

{"correct_answer_key":"e"}

The first statement “If Manee intends to study then Manee passes the exam” is false, so the antecedent must be true and the consequent false → p = true, q = false.
The second statement “Manee is class leader or Manee passes the exam” is true, and since q is false, the disjunction can be true only if the class‑leader proposition is true → r = true.

Evaluating each option with p = true, q = false, r = true shows that only option e (“Manee is class leader iff Manee does not pass the exam”) is true.

{"correct_answer_key":"e"}

The given statements tell us that the conditional “If Manee intends to study, then Manee passes the exam” is false, which means the antecedent is true and the consequent false.
Thus:

• A (Manee intends to study) = True
• B (Manee passes the exam) = False

The disjunction “Manee is the class leader or Manee passes the exam” is true. Since B is false, the other disjunct must be true:

• C (Manee is the class leader) = True

Now evaluate each option:

| Option | Statement | Truth Value | |--------|-----------|-------------| | a | ¬A ∨ B | False | | b | B ∧ ¬C | False | | c | A → B | False | | d | C → ¬A | False | | e | C → ¬B | True |

Only option e is true.

{"correct_answer_key":"e"}

Let me analyze the problem step by step using logical propositions.

• Define the propositions:

  • Let ( S ): "มานีตั้งใจเรียน" (Manee studies hard).
  • Let ( P ): "มานีสอบผ่าน" (Manee passes the exam).
  • Let ( H ): "มานีเป็นหัวหน้าห้อง" (Manee is the class leader).

• Given conditions:

  1. The statement "ถ้ามานีตั้งใจเรียนแล้วมานีสอบผ่าน" (( S \rightarrow P )) is false.
     • In logic, ( S \rightarrow P ) is false only when ( S ) is true and ( P ) is false. So, ( S = \text{true} ) and ( P = \text{false} ).
  2. The statement "มานีเป็นหัวหน้าห้องหรือมานีสอบผ่าน" (( H \lor P )) is true.
     • Since ( P = \text{false} ), for ( H \lor P ) to be true, ( H ) must be true. So, ( H = \text{true} ).

• Summary of truth values:

  • ( S = \text{true} ) (Manee studies hard).
  • ( P = \text{false} ) (Manee does not pass the exam).
  • ( H = \text{true} ) (Manee is the class leader).

Now, evaluate each option to see which proposition is true:

• a: "มานีไม่ตั้งใจเรียนหรือมานีสอบผ่าน" (( \neg S \lor P ))
  • ( \neg S = \neg \text{true} = \text{false} )
  • ( P = \text{false} )
  • ( \text{false} \lor \text{false} = \text{false} )
• b: "มานีสอบผ่านและมานีไม่เป็นหัวหน้าห้อง" (( P \land \neg H ))
  • ( P = \text{false} )
  • ( \neg H = \neg \text{true} = \text{false} )
  • ( \text{false} \land \text{false} = \text{false} )
• c: "มานีตั้งใจเรียนก็ต่อเมื่อมานีสอบผ่าน" (( S \leftrightarrow P ))
  • ( S = \text{true} )
  • ( P = \text{false} )
  • ( \text{true} \leftrightarrow \text{false} = \text{false} )
• d: "ถ้ามานีเป็นหัวหน้าห้องแล้วมานีไม่ตั้งใจเรียน" (( H \rightarrow \neg S ))
  • ( H = \text{true} )
  • ( \neg S = \text{false} )
  • ( \text{true} \rightarrow \text{false} = \text{false} )
• e: "มานีเป็นหัวหน้าห้องก็ต่อเมื่อมานีสอบไม่ผ่าน" (( H \leftrightarrow \neg P ))
  • ( H = \text{true} )
  • ( \neg P = \neg \text{false} = \text{true} )
  • ( \text{true} \leftrightarrow \text{true} = \text{true} )

Thus, the only option with a truth value of true is option e.

{"correct_answer_key":"e"}

Brief Explanation:

กำหนดให้ประพจน์ "ถ้ามานีตั้งใจเรียนแล้วมานีสอบผ่าน" (P → Q) เป็นเท็จ ซึ่งหมายความว่า P (มานีตั้งใจเรียน) เป็นจริง และ Q (มานีสอบผ่าน) เป็นเท็จ และประพจน์ "มานีเป็นหัวหน้าห้องหรือมานีสอบผ่าน" (R ∨ Q) เป็นจริง ซึ่งทำให้ R (มานีเป็นหัวหน้าห้อง) ต้องเป็นจริง เมื่อนำมาวิเคราะห์แต่ละตัวเลือก พบว่าเฉพาะตัวเลือก e ("มานีเป็นหัวหน้าห้องก็ต่อเมื่อมานีสอบไม่ผ่าน" หรือ R ↔ ¬Q) มีค่าความจริงเป็นจริง เนื่องจาก R เป็นจริงและ ¬Q เป็นจริง

{"correct_answer_key":"e"}

Brief Explanation:

กำหนดให้:

• P: มานีตั้งใจเรียน (True)
• Q: มานีสอบผ่าน (False)
• R: มานีเป็นหัวหน้าห้อง (True)

จากข้อมูลที่ให้ "ถ้ามานีตั้งใจเรียนแล้วมานีสอบผ่าน" เป็นเท็จ จึงได้ P ∧ ¬Q (P เป็นจริงและ Q เป็นเท็จ)。 และ "มานีเป็นหัวหน้าห้องหรือมานีสอบผ่าน" เป็นจริง จึงได้ R ∨ Q เป็นจริง และเนื่องจาก Q เป็นเท็จ R จึงต้องเป็นจริง。

ประเมินแต่ละตัวเลือก:

• a: ¬P ∨ Q = False ∨ False = False
• b: Q ∧ ¬R = False ∧ False = False
• c: P ↔ Q = True ↔ False = False
• d: R → ¬P = True → False = False
• e: R ↔ ¬Q = True ↔ True = True

ดังนั้น ตัวเลือก e มีค่าความจริงเป็นจริง。

{"correct_answer_key":"e"}

Let's analyze the problem step by step using logical propositions.

• Let ( S ) represent "มานีตั้งใจเรียน" (Manee studies hard).
• Let ( P ) represent "มานีสอบผ่าน" (Manee passes the exam).
• Let ( H ) represent "มานีเป็นหัวหน้าห้อง" (Manee is the class leader).

We are given two conditions:

1. The proposition "ถ้ามานีตั้งใจเรียนแล้วมานีสอบผ่าน" (( S \rightarrow P )) is false. In logic, an implication ( A \rightarrow B ) is false only when ( A ) is true and ( B ) is false. Therefore, ( S = \text{true} ) and ( P = \text{false} ).
2. The proposition "มานีเป็นหัวหน้าห้องหรือมานีสอบผ่าน" (( H \lor P )) is true. Since ( P = \text{false} ), for the disjunction to be true, ( H ) must be true. Therefore, ( H = \text{true} ).

So, we have:

• ( S = \text{true} ) (Manee studies hard),
• ( P = \text{false} ) (Manee does not pass the exam),
• ( H = \text{true} ) (Manee is the class leader).

Now, let's evaluate each option to see which proposition is true:

• a: "มานีไม่ตั้งใจเรียนหรือมานีสอบผ่าน" (( \neg S \lor P ))
  ( \neg S = \neg \text{true} = \text{false} ), ( P = \text{false} ), so ( \text{false} \lor \text{false} = \text{false} ). False
• b: "มานีสอบผ่านและมานีไม่เป็นหัวหน้าห้อง" (( P \land \neg H ))
  ( P = \text{false} ), ( \neg H = \neg \text{true} = \text{false} ), so ( \text{false} \land \text{false} = \text{false} ). False
• c: "มานีตั้งใจเรียนก็ต่อเมื่อมานีสอบผ่าน" (( S \leftrightarrow P ))
  This is a biconditional, true only if both sides have the same truth value. ( S = \text{true} ), ( P = \text{false} ), so ( \text{true} \leftrightarrow \text{false} = \text{false} ). False
• d: "ถ้ามานีเป็นหัวหน้าห้องแล้วมานีไม่ตั้งใจเรียน" (( H \rightarrow \neg S ))
  ( H = \text{true} ), ( \neg S = \text{false} ), so ( \text{true} \rightarrow \text{false} = \text{false} ). False
• e: "มานีเป็นหัวหน้าห้องก็ต่อเมื่อมานีสอบไม่ผ่าน" (( H \leftrightarrow \neg P ))
  ( H = \text{true} ), ( \neg P = \neg \text{false} = \text{true} ), so ( \text{true} \leftrightarrow \text{true} = \text{true} ). True

Therefore, the correct answer is option e.

{"correct_answer_key":"e"}

{ "correct_answer_key": "e" }

จากข้อมูล

1. ประพจน์ “ถ้ามานีตั้งใจเรียนแล้วมานีสอบผ่าน” มีค่าความจริงเป็นเท็จ
   สำหรับ “ถ้า P แล้ว Q” จะเป็นเท็จก็ต่อเมื่อ P เป็นจริงและ Q เป็นเท็จ
   ⇒ มานีตั้งใจเรียน (P = จริง) และ มานีสอบไม่ผ่าน (Q = เท็จ)

2. ประพจน์ “มานีเป็นหัวหน้าห้องหรือมานีสอบผ่าน” มีค่าความจริงเป็นจริง
   แต่จาก (1) มานีสอบไม่ผ่าน (Q = เท็จ)
   ⇒ ต้องเป็น “มานีเป็นหัวหน้าห้อง” ที่เป็นจริง

สรุปค่าความจริงของตัวแปร

• มานีตั้งใจเรียน (P) = จริง
• มานีสอบผ่าน (Q) = เท็จ
• มานีเป็นหัวหน้าห้อง (R) = จริง

ตรวจสอบตัวเลือก
a. มานีไม่ตั้งใจเรียนหรือมานีสอบผ่าน
¬P ∨ Q = เท็จ ∨ เท็จ = เท็จ

b. มานีสอบผ่านและมานีไม่เป็นหัวหน้าห้อง
Q ∧ ¬R = เท็จ ∧ เท็จ = เท็จ

c. มานีตั้งใจเรียนก็ต่อเมื่อมานีสอบผ่าน
P ↔ Q = จริง ↔ เท็จ = เท็จ

d. ถ้ามานีเป็นหัวหน้าห้องแล้วมานีไม่ตั้งใจเรียน
R → ¬P = จริง → เท็จ = เท็จ

e. มานีเป็นหัวหน้าห้องก็ต่อเมื่อมานีสอบไม่ผ่าน
R ↔ ¬Q = จริง ↔ จริง = จริง

ดังนั้นข้อที่มีค่าความจริงเป็นจริงคือข้อ e.

{"correct_answer_key":"e"}

ประพจน์ "ถ้ามานีตั้งใจเรียนแล้วมานีสอบผ่าน" มีค่าความจริงเป็นเท็จ หมายความว่า มานีตั้งใจเรียน แต่ไม่สอบผ่าน หรือไม่ตั้งใจเรียน และไม่สอบผ่าน

ประพจน์ "มานีเป็นหัวหน้าห้องหรือมานีสอบผ่าน" มีค่าความจริงเป็นจริง หมายความว่า มานีเป็นหัวหน้าห้อง หรือมานีสอบผ่าน หรือทั้งสองอย่าง

จากข้อมูลที่ให้มา ไม่สามารถสรุปได้ว่ามานีตั้งใจเรียนหรือไม่ แต่เรารู้ว่าประพจน์ "มานีเป็นหัวหน้าห้องหรือมานีสอบผ่าน" เป็นจริง

ดังนั้น ประพจน์ที่มีค่าความจริงเป็นจริงคือ "มานีไม่ตั้งใจเรียนหรือมานีสอบผ่าน" ซึ่งเป็นประพจน์ในตัวเลือก a

{"correct_answer_key":"a"}

To solve this, let's break down the given information into logical expressions.

1. "ถ้ามานีตั้งใจเรียนแล้วมานีสอบผ่าน" (If Manee studies diligently, then she passes the exam) is false.

   • Let's denote "มานีตั้งใจเรียน" (Manee studies diligently) as (p) and "มานีสอบผ่าน" (Manee passes the exam) as (q).
   • The statement is represented as (p \rightarrow q), which is false. For (p \rightarrow q) to be false, (p) must be true and (q) must be false. So, Manee studies diligently ((p = True)), but she does not pass the exam ((q = False)).

2. "มานีเป็นหัวหน้าห้องหรือมานีสอบผ่าน" (Manee is the class president or Manee passes the exam) is true.

   • Let's denote "มานีเป็นหัวหน้าห้อง" (Manee is the class president) as (r).
   • The statement is (r \lor q), and it's given as true. Since (q) is false (from the first statement), (r) must be true to make (r \lor q) true. So, Manee is the class president ((r = True)).

Now, let's evaluate the options with (p = True), (q = False), and (r = True):

a. "มานีไม่ตั้งใจเรียนหรือมาสอบผ่าน" ((\neg p \lor q))

• (\neg p = False) (since (p = True)) and (q = False), so (\neg p \lor q = False \lor False = False).

b. "มานีสอบผ่านและมานไม่เป็นหัวหน้าห้อง" ((q \land \neg r))

• (q = False) and (\neg r = False) (since (r = True)), so (q \land \neg r = False \land False = False).

c. "มานี้ตั้งใจเรียนก็ต่อเมื่อมานีสอบผ่าน" ((p \leftrightarrow q))

• (p = True) and (q = False), so (p \leftrightarrow q = False) because they don't have the same truth value.

d. "ถ้ามานีเป็นหัวหน้าห้องแล้วมานีไม่ตั้งใจเรียน" ((r \rightarrow \neg p))

• (r = True) and (\neg p = False) (since (p = True)), so (r \rightarrow \neg p = True \rightarrow False = False).

e. "มานีเป็นหัวหน้าห้องก็ต่อเมื่อมานีสอบไม่ผ่าน" ((r \leftrightarrow \neg q))

• (r = True) and (\neg q = True) (since (q = False)), so both sides of the biconditional are true, making (r \leftrightarrow \neg q = True).

Therefore, the correct answer is E.

{"correct_answer_key":"e"}

Given:

1. "ถ้ามานีตั้งใจเรียนแล้วมานีสอบผ่าน" (If Manee studies hard, then Manee passes the exam) is false.
2. "มานีเป็นหัวหน้าห้องหรือมานีสอบผ่าน" (Manee is the class leader or Manee passes the exam) is true.

Let's denote:

• (p): Manee studies hard.
• (q): Manee passes the exam.
• (r): Manee is the class leader.

From 1, we have (p \rightarrow q) is false. This implies (p) is true and (q) is false.

From 2, we have (r \lor q) is true. Since (q) is false, (r) must be true.

Now, let's evaluate the options:

a. "มานีไม่ตั้งใจเรียนหรือมาสอบผ่าน" ((\neg p \lor q)) is (\neg \text{true} \lor \text{false} = \text{false} \lor \text{false} = \text{false}).

b. "มานีสอบผ่านและมานไม่เป็นหัวหน้าห้อง" ((q \land \neg r)) is (\text{false} \land \neg \text{true} = \text{false} \land \text{false} = \text{false}).

c. "มานี้ตั้งใจเรียนก็ต่อเมื่อมานีสอบผ่าน" ((p \leftrightarrow q)) is (\text{true} \leftrightarrow \text{false} = \text{false}).

d. "ถ้ามานีเป็นหัวหน้าห้องแล้วมานีไม่ตั้งใจเรียน" ((r \rightarrow \neg p)) is (\text{true} \rightarrow \neg \text{true} = \text{true} \rightarrow \text{false} = \text{false}).

e. "มานีเป็นหัวหน้าห้องก็ต่อเมื่อมานีสอบไม่ผ่าน" ((r \leftrightarrow \neg q)) is (\text{true} \leftrightarrow \neg \text{false} = \text{true} \leftrightarrow \text{true} = \text{true}).

Thus, the correct answer is option E.

{"correct_answer_key":"e"}

Let's analyze the given statements step by step:

1. "If Manee intends to study, then Manee passes the exam" is false. This means Manee does not pass the exam even if she intends to study.
2. "Manee is the class leader or Manee passes the exam" is true. This means at least one of these conditions is true.

Given these conditions, let's evaluate each option:

• Option A: "Manee does not intend to study or Manee passes the exam." Since Manee does not pass the exam, this statement can be true if Manee does not intend to study.
• Option B: "Manee passes the exam and Manee is not the class leader." This is false because Manee does not pass the exam.
• Option C: "Manee intends to study if and only if Manee passes the exam." This is false because Manee does not pass the exam regardless of her intention to study.
• Option D: "If Manee is the class leader, then Manee does not intend to study." This can be true if Manee is the class leader and does not intend to study.
• Option E: "Manee is the class leader if and only if Manee does not pass the exam." This is true because if Manee is the class leader, she does not pass the exam.

Therefore, the correct answer is option E.

{"correct_answer_key":"e"}

Given the conditions:

1. "ถ้ามานีตั้งใจเรียนแล้วมานีสอบผ่าน" is false.
2. "มานีเป็นหัวหน้าห้องหรือมานีสอบผ่าน" is true.

From the first condition, if "ถ้ามานีตั้งใจเรียนแล้วมานีสอบผ่าน" is false, then it means that "มานีตั้งใจเรียน" is true and "มานีสอบผ่าน" is false, or "มานีตั้งใจเรียน" is false.

From the second condition, since "มานีเป็นหัวหน้าห้องหรือมานีสอบผ่าน" is true, at least one of "มานีเป็นหัวหน้าห้อง" or "มานีสอบผ่าน" must be true. Given that "มานีสอบผ่าน" is false, "มานีเป็นหัวหน้าห้อง" must be true.

Now, we need to find which proposition among the options is true under these conditions.

• Option a: "มานีไม่ตั้งใจเรียนหรือมานีสอบผ่าน" is true because "มานีไม่ตั้งใจเรียน" is true.
• Option b: "มานีสอบผ่านและมานีไม่เป็นหัวหน้าห้อง" is false because "มานีสอบผ่าน" is false.
• Option c: "มานี้ตั้งใจเรียนก็ต่อเมื่อมานีสอบผ่าน" is false because "มานีตั้งใจเรียน" is true and "มานีสอบผ่าน" is false.
• Option d: "ถ้ามานีเป็นหัวหน้าห้องแล้วมานีไม่ตั้งใจเรียน" is true because "มานีเป็นหัวหน้าห้อง" is true and "มานีไม่ตั้งใจเรียน" is true.
• Option e: "มานีเป็นหัวหน้าห้องก็ต่อเมื่อมานีสอบไม่ผ่าน" is true because "มานีเป็นหัวหน้าห้อง" is true and "มานีสอบไม่ผ่าน" is true.

Both options d and e are true, but since we need to choose one, we'll select the most straightforward one.

{"correct_answer_key":"d"}

To solve this problem, we need to analyze the given propositions and their truth values.

1. Proposition ( P ): "ถ้ามานีตั้งใจเรียนแล้วมานีสอบผ่าน" (If Mani is willing to study, then Mani passes the exam). This proposition has a truth value of false (F).

2. Proposition ( Q ): "มานีเป็นหัวหน้าห้องหรือมานีสอบผ่าน" (Mani is the class representative or Mani passes the exam). This proposition has a truth value of true (T).

We need to determine which of the given propositions is true based on the given information.

Let's analyze each option:

a) มานีไม่ตั้งใจเรียนหรือมาสอบผ่าน (Mani is not willing to study or Mani passes the exam)

• This can be written as ( \neg P \lor Q ).
• Since ( P ) is false, ( \neg P ) is true.
• Since ( Q ) is true, ( \neg P \lor Q ) is true.

b) มานีสอบผ่านและมานไม่เป็นหัวหน้าห้อง (Mani passes the exam and Mani is not the class representative)

• This can be written as ( Q \land \neg R ), where ( R ) is "Mani is the class representative".
• Since ( Q ) is true, we need to check ( \neg R ). However, we don't have enough information to determine the truth value of ( R ).

c) มานี้ตั้งใจเรียนก็ต่อเมื่อมานีสอบผ่าน (Mani is willing to study only if Mani passes the exam)

• This can be written as ( P \rightarrow Q ).
• Since ( P ) is false, ( P \rightarrow Q ) is true regardless of ( Q ).

d) ถ้ามานีเป็นหัวหน้าห้องแล้วมานีไม่ตั้งใจเรียน (If Mani is the class representative, then Mani is not willing to study)

• This can be written as ( R \rightarrow \neg P ).
• We don't have enough information to determine the truth value of ( R ).

e) มานีเป็นหัวหน้าห้องก็ต่อเมื่อมานีสอบไม่ผ่าน (Mani is the class representative only if Mani does not pass the exam)

• This can be written as ( R \rightarrow \neg Q ).
• Since ( Q ) is true, ( \neg Q ) is false, so ( R \rightarrow \neg Q ) is false.

Based on the analysis, the only proposition that is definitely true is option a.

Thus, the correct answer is:

{"correct_answer_key":"a"}

Given the statements:

1. "ถ้ามานีตั้งใจเรียนแล้วมานีสอบผ่าน" (If Manee studies hard, then Manee passes the exam) is false.
2. "มานีเป็นหัวหน้าห้องหรือมานีสอบผ่าน" (Manee is the class monitor or Manee passes the exam) is true.

From the first statement being false, it implies that Manee studies hard but does not pass the exam. From the second statement being true, and knowing that Manee does not pass the exam, it must be that Manee is the class monitor.

Now, let's evaluate the options:

• a: "มานีไม่ตั้งใจเรียนหรือมาสอบผ่าน" (Manee does not study hard or Manee passes the exam) - This is true because Manee does not pass the exam, but we know Manee does study hard, making this option misleading.
• b: "มานีสอบผ่านและมานไม่เป็นหัวหน้าห้อง" (Manee passes the exam and Manee is not the class monitor) - This is false because Manee does not pass the exam.
• c: "มานี้ตั้งใจเรียนก็ต่อเมื่อมานีสอบผ่าน" (Manee studies hard if and only if Manee passes the exam) - This is false because Manee studies hard but does not pass the exam.
• d: "ถ้ามานีเป็นหัวหน้าห้องแล้วมานีไม่ตั้งใจเรียน" (If Manee is the class monitor, then Manee does not study hard) - This is false because Manee is the class monitor and does study hard.
• e: "มานีเป็นหัวหน้าห้องก็ต่อเมื่อมานีสอบไม่ผ่าน" (Manee is the class monitor if and only if Manee does not pass the exam) - This is true because Manee is the class monitor and does not pass the exam.

Thus, the correct answer is e.

{"correct_answer_key":"e"}

คำอธิบายสั้น ๆ:

จากประพจน์ (1) “ถ้ามานีตั้งใจเรียนแล้วมานีสอบผ่าน” เป็นเท็จ จะเป็นเท็จได้ก็ต่อเมื่อ “มานีตั้งใจเรียน” เป็นจริง แต่ว่า “มานีสอบผ่าน” เป็นเท็จ (เพราะ a → b เท็จได้เฉพาะเมื่อ a เป็นจริง และ b เป็นเท็จ)
ดังนั้น มานีตั้งใจเรียน (M) = จริง และ มานีสอบผ่าน (P) = เท็จ

จากประพจน์ (2) “มานีเป็นหัวหน้าห้องหรือมานีสอบผ่าน” เป็นจริง (H or P) = จริง แต่เราได้ P = เท็จ จึงจำเป็นที่ H (มานีเป็นหัวหน้าห้อง) ต้องเป็นจริง

สรุปค่าความจริงที่ได้: • M = จริง
• P = เท็จ
• H = จริง

ตรวจสอบตัวเลือก:

(a) ¬M or P = (เท็จ) or (เท็จ) = เท็จ
(b) P and ¬H = (เท็จ) and (เท็จ) = เท็จ
(c) M ↔ P = (จริง) ↔ (เท็จ) = เท็จ
(d) H → ¬M = (จริง) → (เท็จ) = เท็จ
(e) H ↔ ¬P = (จริง) ↔ (จริง) = จริง

ดังนั้น ตัวเลือกที่มีค่าความจริงเป็นจริงคือ (e)

{"correct_answer_key":"e"}

ให้กำหนดตัวแปร
P : มานีตั้งใจเรียน (จริง)
Q : มานีสอบผ่าน (เท็จ)
R : มานีเป็นหัวหน้าห้อง (จริง)

ได้จากเงื่อนไข

1. P → Q เป็นเท็จ ⇒ P = T, Q = F
2. R ∨ Q เป็นจริง และ Q = F ⇒ R = T

ตรวจแต่ละตัวเลือก
a) ¬P ∨ Q = F ∨ F = F
b) Q ∧ ¬R = F ∧ F = F
c) P ↔ Q = T ↔ F = F
d) R → ¬P = T → F = F
e) R ↔ ¬Q = T ↔ T = T (จริง)

จึงตัวเลือกที่เป็นจริงคือข้อ e

{"correct_answer_key":"e"}

เรากำหนดสัญลักษณ์
p : มานีตั้งใจเรียน
q : มานีสอบผ่าน
r : มานีเป็นหัวหน้าห้อง

ข้อมูลกำหนด

1. p → q เป็นเท็จ ⇒ p = T, q = F
2. r ∨ q เป็นจริง ⇒ q = F จึงต้องมี r = T

ตรวจค่าความจริงของแต่ละตัวเลือก
a) ¬p ∨ q = F ∨ F = F
b) q ∧ ¬r = F ∧ F = F
c) p ↔ q : T ↔ F = F
d) r → ¬p : T → F = F
e) r ↔ ¬q : T ↔ T = T (เป็นจริง)

จึงข้อ (e) เป็นจริง

{"correct_answer_key":"e"}

จาก “ถ้า มานีตั้งใจเรียน แล้ว มานีสอบผ่าน” เป็นเท็จ ⇒ p → q = F
 •  นิเสธได้ว่า p = T และ q = F (เพราะ T → F เท่านั้นที่ให้ค่า F)

จาก “มานีเป็นหัวหน้าห้อง หรือ มานีสอบผ่าน” เป็นจริง ⇒ r ∨ q = T
 •  เมื่อ q = F ต้องมี r = T

ดังนั้น (p,q,r) = (T,F,T)

ตรวจแต่ละตัวเลือก
a) ¬p ∨ q = F ∨ F = F
b) q ∧ ¬r = F ∧ F = F
c) p ↔ q = T ↔ F = F
d) r → ¬p = T → F = F
e) r ↔ ¬q = T ↔ T = T ✓

ตัวเลือก e เท่านั้นที่เป็นจริง

{"correct_answer_key":"e"}

From the given, let: P = "มานีตั้งใจเรียน" (Maanee studies hard) Q = "มานีสอบผ่าน" (Maanee passed the exam) R = "มานีเป็นหัวหน้าห้อง" (Maanee is class leader)

We are told that:

1. "ถ้ามานีตั้งใจเรียนแล้วมานีสอบผ่าน" (P → Q) is false. (An implication is false only when P is true and Q is false.)   Thus, P must be true and Q false.
2. "มานีเป็นหัวหน้าห้องหรือมานีสอบผ่าน" (R ∨ Q) is true. With Q false, R must be true.

So we have: P = true, Q = false, and R = true.

Now, check the options: a. "มานีไม่ตั้งใจเรียนหรือมาสอบผ่าน" = (¬P ∨ Q). With P true and Q false, it is (false ∨ false) = false. b. "มานีสอบผ่านและมานีไม่เป็นหัวหน้าห้อง" = (Q ∧ ¬R). With Q false and R true, false ∧ false = false. c. "มานีตั้งใจเรียนก็ต่อเมื่อมานีสอบผ่าน" is equivalent to (P → Q). Since P is true and Q false, this is false. d. "ถ้ามานีเป็นหัวหน้าห้องแล้วมานีไม่ตั้งใจเรียน" = (R → ¬P). With R true and P true, (true → false) = false. e. "มานีเป็นหัวหน้าห้องก็ต่อเมื่อมานีสอบไม่ผ่าน"
  This can be read as “if Maanee is class leader then Maanee did not pass” i.e. (R → ¬Q). Since R is true and Q is false (so ¬Q true), the implication holds true.

Thus, option e is true.

{"correct_answer_key": "e"}

From the given statements, let:  p = "มานีตั้งใจเรียน"  q = "มานีสอบผ่าน"  r = "มานีเป็นหัวหน้าห้อง"

1. The first proposition is "ถ้ามานีตั้งใจเรียนแล้วมานีสอบผ่าน" (if p then q), which is false. For an implication to be false, p must be true and q false.  • So, p = true and q = false.
2. The second proposition is "มานีเป็นหัวหน้าห้องหรือมานีสอบผ่าน" (r or q), which is true. Since q is false, r must be true.

Thus, we have:  p = true, q = false, r = true

Now, evaluate each option:

a) "มานีไม่ตั้งใจเรียนหรือมาสอบผ่าน" translates to ¬p ∨ q.  • ¬p is false (since p is true) and q is false, so the result is false.

b) "มานีสอบผ่านและมานไม่เป็นหัวหน้าห้อง" translates to q ∧ ¬r.  • q is false and ¬r is false (since r is true), so the result is false.

c) "มานีตั้งใจเรียนก็ต่อเมื่อมานีสอบผ่าน" translates to p → q.  • Since p is true and q is false, the implication is false.

d) "ถ้ามานีเป็นหัวหน้าห้องแล้วมานีไม่ตั้งใจเรียน" is r → ¬p.  • With r true and ¬p false, the implication is false.

e) "มานีเป็นหัวหน้าห้องก็ต่อเมื่อมานีสอบไม่ผ่าน" translates to r → (not q).  • Here, r is true and q is false (so not q is true), making the implication true.

Only option e is true.

{"correct_answer_key":"e"}

เรากำหนดให้ให้ p = "มานีตั้งใจเรียน", q = "มานีสอบผ่าน", และ r = "มานีเป็นหัวหน้าห้อง" จากข้อมูลที่ให้ "ถ้ามานีตั้งใจเรียนแล้วมานีสอบผ่าน" มีค่าความจริงเป็นเท็จ (p → q เท็จ) ซึ่งเกิดขึ้นได้เฉพาะเมื่อ p จริงและ q เท็จ นอกจากนี้ "มานีเป็นหัวหน้าห้องหรือมานีสอบผ่าน" มีค่าความจริงเป็นจริง (r ∨ q จริง) เมื่อ q เท็จก็ต้องได้ว่า r เป็นจริง

ดังนั้นเรามี p = จริง, q = เท็จ, และ r = จริง

พิจารณาตัวเลือกแต่ละข้อ: a. "มานีไม่ตั้งใจเรียนหรือมาสอบผ่าน" แปลว่า ¬p ∨ q = เท็จ ∨ เท็จ = เท็จ
b. "มานีสอบผ่านและมานไม่เป็นหัวหน้าห้อง" แปลว่า q ∧ ¬r = เท็จ ∧ เท็จ = เท็จ
c. "มานี้ตั้งใจเรียนก็ต่อเมื่อมานีสอบผ่าน" แปลว่า p ↔ q = (จริง ↔ เท็จ) = เท็จ
d. "ถ้ามานีเป็นหัวหน้าห้องแล้วมานีไม่ตั้งใจเรียน" แปลว่า r → ¬p = (จริง → เท็จ) = เท็จ
e. "มานีเป็นหัวหน้าห้องก็ต่อเมื่อมานีสอบไม่ผ่าน" แปลว่า r ↔ ¬q = (จริง ↔ จริง) = จริง

ดังนั้นคำตอบที่เป็นจริงคือข้อ e

{"correct_answer_key": "e"}

ประพจน์ “ถ้ามานีตั้งใจเรียนแล้วมานีสอบผ่าน” เป็นเท็จ จึงมานีตั้งใจเรียนจริง แต่สอบไม่ผ่าน และ “มานีเป็นหัวหน้าห้องหรือมานีสอบผ่าน” เป็นจริง จึงมานีเป็นหัวหน้าห้องจริง (M=1, P=0, H=1)
ตรวจแต่ละข้อ พบข้อ (e) “มานีเป็นหัวหน้าห้องก็ต่อเมื่อมานีสอบไม่ผ่าน” เป็นจริง

{"correct_answer_key":"e"}

ประพจน์ “ถ้า p แล้ว q” เป็นเท็จ ⇒ p = จริง, q = เท็จ
“r หรือ q” เป็นจริง ⇒ r = จริง
ตรวจแต่ละข้อ: a) ¬p∨q = เท็จ∨เท็จ = เท็จ
b) q∧¬r = เท็จ∧เท็จ = เท็จ
c) p→q = เท็จ
d) r→¬p = จริง→เท็จ = เท็จ
e) r→¬q = จริง→จริง = จริง

{"correct_answer_key":"e"}

เรกำหนดให้
P: มานีตั้งใจเรียน = จริง
Q: มานีสอบผ่าน = เท็จ
R: มานีเป็นหัวหน้าห้อง = จริง

เพราะ P→Q เท็จ ⇔ P=จริง, Q=เท็จ
และ R∨Q จริง ⇔ R=จริง

ตรวจข้อ e: “R ก็ต่อเมื่อ ¬Q” คือ R↔¬Q = จริง↔¬(เท็จ)=จริง↔จริง = จริง

{"correct_answer_key":"e"}

เรามาวิเคราะห์ประพจน์ที่ให้มากัน:

1. ประพจน์ “ถ้ามานีตั้งใจเรียนแล้วมานีสอบผ่าน” มีค่าความจริงเป็นเท็จ:

   • ประพจน์เชิงเงื่อนไขนี้สามารถเขียนในรูปแบบตรรกะได้ว่า ( P \rightarrow Q ) ซึ่ง ( P ) คือ "มานีตั้งใจเรียน" และ ( Q ) คือ "มานีสอบผ่าน"
   • ถ้า ( P \rightarrow Q ) เป็นเท็จ คือ ( P ) เป็นจริงและ ( Q ) เป็นเท็จ

2. ประพจน์ “มานีเป็นหัวหน้าห้องหรือมานีสอบผ่าน” มีค่าความจริงเป็นจริง:

   • ประพจน์นี้สามารถเขียนในรูปแบบตรรกะได้ว่า ( R \lor Q ) ซึ่ง ( R ) คือ "มานีเป็นหัวหน้าห้อง"
   • เนื่องจาก ( R \lor Q ) เป็นจริง มีสองกรณีที่เป็นไปได้:
     • ( R ) เป็นจริง (ไม่ว่า ( Q ) จะเป็นจริงหรือเท็จ)
     • ( Q ) เป็นจริง (ไม่ว่า ( R ) จะเป็นจริงหรือเท็จ)

จากข้อ 1 เราทราบว่า ( P ) เป็นจริงและ ( Q ) เป็นเท็จ

จากข้อ 2 เราทราบว่า ( R \lor Q ) เป็นจริง และเนื่องจาก ( Q ) เป็นเท็จ ดังนั้น ( R ) ต้องเป็นจริง

ตอนนี้เรามาวิเคราะห์ตัวเลือก:

a. "มานีไม่ตั้งใจเรียนหรือมาสอบผ่าน" (( \neg P \lor Q )):

• เนื่องจาก ( P ) เป็นจริงและ ( Q ) เป็นเท็จ ดังนั้น ( \neg P ) เป็นเท็จ และ ( \neg P \lor Q ) เป็นเท็จ

b. "มานีสอบผ่านและมานไม่เป็นหัวหน้าห้อง" (( Q \land \neg R )):

• เนื่องจาก ( Q ) เป็นเท็จ และ ( R ) เป็นจริง ดังนั้น ( Q \land \neg R ) เป็นเท็จ

c. "มานีตั้งใจเรียนก็ต่อเมื่อมานีสอบผ่าน" (( P \leftrightarrow Q )):

• เนื่องจาก ( P ) เป็นจริงและ ( Q ) เป็นเท็จ ดังนั้น ( P \leftrightarrow Q ) เป็นเท็จ

d. "ถ้ามานีเป็นหัวหน้าห้องแล้วมานีไม่ตั้งใจเรียน" (( R \rightarrow \neg P )):

• เนื่องจาก ( R ) เป็นจริงและ ( P ) เป็นจริง ดังนั้น ( \neg P ) เป็นเท็จ และ ( R \rightarrow \neg P ) เป็นเท็จ

e. "มานีเป็นหัวหน้าห้องก็ต่อเมื่อมานีสอบไม่ผ่าน" (( R \leftrightarrow \neg Q )):

• เนื่องจาก ( R ) เป็นจริงและ ( \neg Q ) เป็นจริง (เนื่องจาก ( Q ) เป็นเท็จ) ดังนั้น ( R \leftrightarrow \neg Q ) เป็นจริง

ดังนั้น ประพจน์ที่มีค่าความจริงเป็นจริงคือตัวเลือก e.

{"correct_answer_key":"e"}

Explanation:

We are given two propositions:

1. “ถ้ามานีตั้งใจเรียนแล้วมานีสอบผ่าน” (If Manee studies hard, then Manee passes the exam) has a truth value of false.

   • A conditional statement ("if P then Q") is false only when P is true and Q is false.
   • Therefore, Manee studies hard (P = true) and Manee does not pass the exam (Q = false).

2. “มานีเป็นหัวหน้าห้องหรือมานีสอบผ่าน” (Manee is the class president or Manee passes the exam) has a truth value of true.

   • A disjunction ("P or Q") is true if at least one of P or Q is true.
   • Since we already know from the first proposition that Manee does not pass the exam (Q = false), it must be the case that Manee is the class president (P = true).

Now, we analyze each option to determine which proposition has a truth value of true:

Option A: "มานีไม่ตั้งใจเรียนหรือมานีสอบผ่าน" (Manee does not study hard or Manee passes the exam)

• This is a disjunction ("not P or Q").
• From the first proposition, Manee studies hard (P = true), so not P = false.
• From the first proposition, Manee does not pass the exam (Q = false).
• Therefore, "false or false" = false.
• This option is false.

Option B: "มานีสอบผ่านและมานีไม่เป็นหัวหน้าห้อง" (Manee passes the exam and Manee is not the class president)

• This is a conjunction ("Q and not P").
• From the first proposition, Manee does not pass the exam (Q = false).
• From the second proposition, Manee is the class president (P = true), so not P = false.
• Therefore, "false and false" = false.
• This option is false.

Option C: "มานีตั้งใจเรียนก็ต่อเมื่อมานีสอบผ่าน" (Manee studies hard if and only if Manee passes the exam)

• This is a biconditional ("P if and only if Q").
• From the first proposition, Manee studies hard (P = true) and Manee does not pass the exam (Q = false).
• A biconditional is true only when both P and Q have the same truth value.
• Since P and Q have different truth values, this is false.
• This option is false.

Option D: "ถ้ามานีเป็นหัวหน้าห้องแล้วมานีไม่ตั้งใจเรียน" (If Manee is the class president, then Manee does not study hard)

• This is a conditional ("P → not Q").
• From the second proposition, Manee is the class president (P = true).
• From the first proposition, Manee studies hard (Q = true), so not Q = false.
• A conditional is false only when P is true and not Q is false.
• Here, P is true and not Q is false, so this is false.
• This option is false.

Option E: "มานีเป็นหัวหน้าห้องก็ต่อเมื่อมานีสอบไม่ผ่าน" (Manee is the class president if and only if Manee does not pass the exam)

• This is a biconditional ("P if and only if not Q").
• From the second proposition, Manee is the class president (P = true).
• From the first proposition, Manee does not pass the exam (Q = false), so not Q = true.
• A biconditional is true when both P and not Q have the same truth value.
• Here, P = true and not Q = true, so this is true.
• This option is true.

Final Answer:

{"correct_answer_key":"e"}

เริ่มต้นด้วยการวิเคราะห์ข้อมูลที่กำหนด:

1. ประพจน์ "ถ้ามานีตั้งใจเรียนแล้วมานีสอบผ่าน" เป็นเท็จ → หมายความว่า "มานีตั้งใจเรียน" (P) เป็นจริง และ "มานีสอบผ่าน" (Q) เป็นเท็จ (เพราะเงื่อนไข "ถ้า P แล้ว Q" จะเป็นเท็จได้ก็ต่อเมื่อ P เป็นจริงและ Q เป็นเท็จเท่านั้น)
2. ประพจน์ "มานีเป็นหัวหน้าห้องหรือมานีสอบผ่าน" เป็นจริง → "มานีเป็นหัวหน้าห้อง" (R) ต้องเป็นจริง (เพราะ Q เป็นเท็จ จึงเหลือเพียง R ต้องเป็นจริง)

จากนั้นตรวจสอบแต่ละตัวเลือก:

• a: "มานีไม่ตั้งใจเรียนหรือสอบผ่าน" (¬P ∨ Q) → P เป็นจริง (¬P=F), Q เท็จ → F ∨ F = เท็จ ❌
• b: "สอบผ่านและไม่เป็นหัวหน้าห้อง" (Q ∧ ¬R) → Q=F, R=T (¬R=F) → F ∧ F = เท็จ ❌
• c: "ตั้งใจเรียนก็ต่อเมื่อสอบผ่าน" (P ↔ Q) → P=T, Q=F → T ↔ F = เท็จ ❌
• d: "ถ้าเป็นหัวหน้าห้องแล้วไม่ตั้งใจเรียน" (R → ¬P) → R=T, ¬P=F → T → F = เท็จ ❌
• e: "เป็นหัวหน้าห้องก็ต่อเมื่อสอบไม่ผ่าน" (R ↔ ¬Q) → R=T, Q=F (¬Q=T) → T ↔ T = จริง ✅

ดังนั้น ตัวเลือกที่ถูกต้องคือ e

{"correct_answer_key":"e"}

{"correct_answer_key":"e"}

{"correct_answer_key":"e"}

The problem involves two propositions:

1. "If Manee studies hard, then she passes" is false, meaning Manee studied hard (P = True) but did not pass (Q = False).
2. "Manee is the class leader (R) or she passes" is true. Since Q is false, R must be true (Manee is the class leader).

Evaluating options:

• a: ¬P ∨ Q → False (¬P = False, Q = False).
• b: Q ∧ ¬R → False (Q = False, ¬R = False).
• c: P → Q → False (True → False).
• d: R → ¬P → False (True → False).
• e: R → ¬Q → True (True → True, since ¬Q = True).

The correct answer is e, as it holds true under the given conditions.

{"correct_answer_key":"e"}

จากข้อมูลที่ให้มา เราทราบว่า "ถ้ามานีตั้งใจเรียนแล้วมานีสอบผ่าน" มีค่าความจริงเป็นเท็จ ซึ่งหมายความว่ามานีไม่ตั้งใจเรียนหรือมานีสอบไม่ผ่าน

นอกจากนี้ "มานีเป็นหัวหน้าห้องหรือมานีสอบผ่าน" มีค่าความจริงเป็นจริง ซึ่งหมายความว่ามานีเป็นหัวหน้าห้องหรือมานีสอบผ่าน

จากข้อมูลทั้งสองข้อ เราสามารถสรุปได้ว่ามานีไม่ตั้งใจเรียนและเป็นหัวหน้าห้อง

ดังนั้น ประพจน์ที่มีค่าความจริงเป็นจริงคือ "มานีไม่ตั้งใจเรียนหรือมาสอบผ่าน" ซึ่งตรงกับข้อ a

{"correct_answer_key":"a"}

{
  "correct_answer_key": "e"
}

Let's analyze the given statements:

1. "If Manee studies hard, then Manee passes the exam" is false. This means Manee studies hard, but does not pass the exam.
2. "Manee is the class leader or Manee passes the exam" is true.

Now, let's evaluate each option:

• a) "Manee does not study hard or Manee passes the exam": Since Manee does not pass the exam (from statement 1), this statement is true.
• b) "Manee passes the exam and Manee is not the class leader": Manee does not pass the exam (from statement 1), so this statement is false.
• c) "Manee studies hard if and only if Manee passes the exam": This is equivalent to "If Manee studies hard, then Manee passes the exam, and if Manee passes the exam, then Manee studies hard." The first part is false (from statement 1), so the entire statement is false.
• d) "If Manee is the class leader, then Manee does not study hard": We don't know if Manee is the class leader or not. If Manee is the class leader, then she does not study hard. If Manee is not the class leader, then this statement is true.
• e) "Manee is the class leader if and only if Manee does not pass the exam": This is equivalent to "If Manee is the class leader, then Manee does not pass the exam, and if Manee does not pass the exam, then Manee is the class leader." We know Manee does not pass the exam, so the second part is true. However, we don't know if Manee is the class leader or not.

From statement 2, "Manee is the class leader or Manee passes the exam" is true. Since Manee does not pass the exam, she must be the class leader. Therefore, option d) "If Manee is the class leader, then Manee does not study hard" is true.

{"correct_answer_key":"d"}