คำอธิบาย:

ให้ความเร็วปกติของรถไฟ = v กม./ชม.

• เวลาปกติ = 90/v ชั่วโมง
• ความเร็วช้ากว่า = (v-5) กม./ชม.
• เวลาเมื่อช้ากว่า = 90/(v-5) ชั่วโมง

เนื่องจากเวลาเมื่อช้ากว่ามากกว่าปกติ 15 นาที (= 0.25 ชั่วโมง):

90/(v-5) - 90/v = 0.25

90v - 90(v-5) = 0.25v(v-5)

90v - 90v + 450 = 0.25v² - 1.25v

450 = 0.25v² - 1.25v

1800 = v² - 5v

v² - 5v - 1800 = 0

(v - 45)(v + 40) = 0

v = 45 (ค่าบวก)

ตรวจสอบ: เวลาปกติ = 90/45 = 2 ชม., เวลาช้า = 90/40 = 2.25 ชม., ผลต่าง = 0.25 ชม. = 15 นาที ✓

{"correct_answer_key":"b"}

Explanation:

Let v = normal speed (km/h)

• Slower speed = (v - 5) km/h
• Distance = 90 km
• Time difference = 15 minutes = 0.25 hours

Using Time = Distance/Speed:

• Normal time = 90/v hours
• Slower time = 90/(v-5) hours

Setting up the equation: 90/(v-5) - 90/v = 0.25

Solving: 90v - 90(v-5) = 0.25v(v-5) 1800 = v² - 5v v² - 5v - 1800 = 0 (v - 45)(v + 40) = 0

Since speed must be positive: v = 45 km/h

Verification: At 45 km/h: time = 90/45 = 2 hours. At 40 km/h: time = 90/40 = 2.25 hours. Difference = 0.25 hours = 15 minutes ✓

{"correct_answer_key":"b"}

I need to find the normal speed of the train.

Setting up the problem:

• Let the normal speed = v km/h
• Slower speed = (v - 5) km/h
• Distance = 90 km
• Time difference = 15 minutes = 0.25 hours (or 1/4 hour)

Creating the equation:

• Normal time = 90/v hours
• Slower time = 90/(v-5) hours
• Difference: 90/(v-5) - 90/v = 1/4

Solving: $$\frac{90}{v-5} - \frac{90}{v} = \frac{1}{4}$$

$$\frac{90v - 90(v-5)}{v(v-5)} = \frac{1}{4}$$

$$\frac{90v - 90v + 450}{v(v-5)} = \frac{1}{4}$$

$$\frac{450}{v(v-5)} = \frac{1}{4}$$

$$450 \times 4 = v(v-5)$$

$$1800 = v^2 - 5v$$

$$v^2 - 5v - 1800 = 0$$

Using the quadratic formula: $$v = \frac{5 \pm \sqrt{25 + 7200}}{2} = \frac{5 \pm \sqrt{7225}}{2} = \frac{5 \pm 85}{2}$$

$$v = \frac{5 + 85}{2} = \frac{90}{2} = 45$$

(The negative solution is rejected)

Verification:

• Normal time: 90/45 = 2 hours
• Slower time: 90/40 = 2.25 hours
• Difference: 0.25 hours = 15 minutes ✓

{"correct_answer_key":"b"}

การแก้โจทย์

กำหนดให้:

• ความเร็วปกติ = v กม./ชม.
• ระยะทาง = 90 กม.
• เวลาที่เพิ่มขึ้น = 15 นาที = 1/4 ชั่วโมง

สร้างสมการ:

เวลาปกติ = 90/v ชั่วโมง

เวลาเมื่อแล่นช้าลง = 90/(v-5) ชั่วโมง

ผลต่างของเวลา: $$\frac{90}{v-5} - \frac{90}{v} = \frac{1}{4}$$

แก้สมการ: $$90 \times \frac{v-(v-5)}{v(v-5)} = \frac{1}{4}$$

$$\frac{450}{v(v-5)} = \frac{1}{4}$$

$$v(v-5) = 1800$$

$$v^2 - 5v - 1800 = 0$$

แยกตัวประกอบ: $(v-45)(v+40) = 0$

ได้ v = 45 (เลือกค่าบวก)

ตรวจสอบ:

• ความเร็วปกติ 45 กม./ชม. → เวลา = 90/45 = 2 ชม.
• ความเร็วช้าลง 40 กม./ชม. → เวลา = 90/40 = 2.25 ชม.
• ผลต่าง = 0.25 ชม. = 15 นาที ✓

{"correct_answer_key":"b"}

Finding the Normal Speed of the Train

Setting up the equation

Let the normal speed = v km/h

• Normal time for 90 km: 90/v hours
• Slower speed: (v - 5) km/h
• Slower time for 90 km: 90/(v - 5) hours
• The difference is 15 minutes = 1/4 hour

$$\frac{90}{v-5} - \frac{90}{v} = \frac{1}{4}$$

Solving

$$90 \left(\frac{v - (v-5)}{v(v-5)}\right) = \frac{1}{4}$$

$$90 \cdot \frac{5}{v(v-5)} = \frac{1}{4}$$

$$\frac{450}{v(v-5)} = \frac{1}{4}$$

$$v(v-5) = 1800$$

$$v^2 - 5v - 1800 = 0$$

Using the quadratic formula:

$$v = \frac{5 + \sqrt{25 + 7200}}{2} = \frac{5 + \sqrt{7225}}{2} = \frac{5 + 85}{2} = 45$$

Verification

• Normal: 90/45 = 2 hours
• Slower: 90/40 = 2.25 hours
• Difference = 0.25 hours = 15 minutes ✓

{"correct_answer_key":"b"}

การแก้โจทย์

กำหนดให้ความเร็วปกติ = v กม./ชม.

ตั้งสมการจากเงื่อนไข: เวลาที่ใช้เมื่อแล่นช้าลง − เวลาปกติ = 15 นาที = ¼ ชั่วโมง

$$\frac{90}{v-5} - \frac{90}{v} = \frac{1}{4}$$

แก้สมการ: คูณตลอดด้วย $v(v-5)$

$$90v - 90(v-5) = \frac{v(v-5)}{4}$$

$$450 = \frac{v^2 - 5v}{4}$$

$$v^2 - 5v = 1800$$

$$v^2 - 5v - 1800 = 0$$

หาค่า v:

$$v = \frac{5 + \sqrt{25 + 7200}}{2} = \frac{5 + \sqrt{7225}}{2} = \frac{5 + 85}{2} = 45$$

ตรวจคำตอบ:

• เวลาปกติ = 90/45 = 2 ชม.
• เวลาช้า = 90/40 = 2.25 ชม.
• ต่างกัน = 0.25 ชม. = 15 นาที ✅

ความเร็วปกติ = 45 กม./ชม.

{"correct_answer_key":"b"}

Let me solve this step by step.

Let's say the normal speed of the train is v km/h.

Normal situation:

• Time = 90/v hours

Slower situation:

• Speed = (v - 5) km/h
• Time = 90/(v - 5) hours

Given condition: The slower journey takes 15 minutes (= 15/60 = 1/4 hour) more than normal.

So: 90/(v - 5) - 90/v = 1/4

Solving: 90/(v - 5) - 90/v = 1/4

90v - 90(v - 5) = (1/4) × v(v - 5)

90v - 90v + 450 = (1/4)(v² - 5v)

450 = (v² - 5v)/4

1800 = v² - 5v

v² - 5v - 1800 = 0

Using the quadratic formula or factoring: (v - 45)(v + 40) = 0

Since speed must be positive: v = 45 km/h

Verification:

• Normal time: 90/45 = 2 hours
• Slower time: 90/40 = 2.25 hours = 2 hours 15 minutes
• Difference: 15 minutes ✓

{"correct_answer_key":"b"}

Explanation

Let me solve this step-by-step:

Let v = normal speed (km/h)

Normal conditions:

• Time = 90/v hours

Slower conditions (5 km/h slower):

• Speed = v - 5 km/h
• Time = 90/(v-5) hours
• This takes 15 minutes (0.25 hours) more

Setting up the equation: 90/(v-5) = 90/v + 0.25

Solving:

• 90/(v-5) - 90/v = 0.25
• 90v - 90(v-5) = 0.25v(v-5)
• 450 = 0.25v² - 1.25v
• v² - 5v - 1800 = 0
• (v - 45)(v + 40) = 0

Therefore v = 45 km/h (negative value rejected)

Verification:

• Normal: 90 km ÷ 45 km/h = 2 hours
• Slower: 90 km ÷ 40 km/h = 2.25 hours (15 minutes more) ✓

{"correct_answer_key":"b"}

วิธีคิด

ให้ความเร็วปกติ = v กม./ชม.

เวลาปกติ = 90/v ชั่วโมง

เวลาที่ช้ากว่าปกติ = 90/(v-5) ชั่วโมง

ผลต่างของเวลา = 15 นาที = 15/60 = 1/4 ชั่วโมง

ตั้งสมการ: $$\frac{90}{v-5} - \frac{90}{v} = \frac{1}{4}$$

$$90v - 90(v-5) = \frac{v(v-5)}{4}$$

$$90 \times 5 = \frac{v(v-5)}{4}$$

$$450 \times 4 = v^2 - 5v$$

$$v^2 - 5v - 1800 = 0$$

$$(v-45)(v+40) = 0$$

$$v = 45 \text{ กม./ชม.}$$

{"correct_answer_key":"b"}

วิธีคิด

ให้ความเร็วปกติ = v กม./ชม.

ตั้งสมการ:

• เวลาปกติ = 90/v ชั่วโมง
• เวลาที่แล่นช้าลง = 90/(v-5) ชั่วโมง
• ผลต่างของเวลา = 15 นาที = 1/4 ชั่วโมง

$$\frac{90}{v-5} - \frac{90}{v} = \frac{1}{4}$$

$$90v - 90(v-5) = \frac{v(v-5)}{4}$$

$$450 = \frac{v(v-5)}{4}$$

$$1800 = v^2 - 5v$$

$$v^2 - 5v - 1800 = 0$$

แก้สมการกำลังสอง:

$$v = \frac{5 \pm \sqrt{25 + 7200}}{2} = \frac{5 \pm \sqrt{7225}}{2} = \frac{5 \pm 85}{2}$$

$$v = \frac{5 + 85}{2} = \frac{90}{2} = \mathbf{45} \text{ กม./ชม.}$$

{"correct_answer_key":"b"}

Let ( v ) be the normal speed of the train in km/h.

Normal time to cover 90 km: ( t = \frac{90}{v} ) hours.

Slower speed: ( v - 5 ) km/h. Time at slower speed: ( t_{\text{slow}} = \frac{90}{v-5} ) hours.

The slower time is 15 minutes (which is ( \frac{15}{60} = \frac{1}{4} ) hours) longer than normal: [ t_{\text{slow}} = t + \frac{1}{4} ] [ \frac{90}{v-5} = \frac{90}{v} + \frac{1}{4} ]

Multiply both sides by ( 4v(v-5) ) to eliminate denominators: [ 4v(v-5) \cdot \frac{90}{v-5} = 4v(v-5) \cdot \left( \frac{90}{v} + \frac{1}{4} \right) ] [ 360v = 4v(v-5) \cdot \frac{90}{v} + 4v(v-5) \cdot \frac{1}{4} ] [ 360v = 360(v-5) + v(v-5) ] [ 360v = 360v - 1800 + v^2 - 5v ] [ 360v - 360v + 1800 - v^2 + 5v = 0 ] [ -v^2 + 5v + 1800 = 0 ] Multiply both sides by -1: [ v^2 - 5v - 1800 = 0 ]

Solve the quadratic equation: [ v = \frac{5 \pm \sqrt{25 + 7200}}{2} = \frac{5 \pm \sqrt{7225}}{2} = \frac{5 \pm 85}{2} ] Take the positive root: [ v = \frac{5 + 85}{2} = \frac{90}{2} = 45 ]

Thus, the normal speed is 45 km/h, which corresponds to option B.

{"correct_answer_key": "b"}

Explanation:

The problem involves finding the normal speed of a train given that when it runs 5 km/h slower than normal for 90 km, it takes 15 minutes (0.25 hours) longer. Let ( v ) be the normal speed in km/h. The time at normal speed is ( \frac{90}{v} ) hours, and at the slower speed (( v - 5 ) km/h), it is ( \frac{90}{v-5} ) hours. The equation based on the time difference is: [ \frac{90}{v-5} - \frac{90}{v} = 0.25 ] Simplifying and solving the quadratic equation ( v^2 - 5v - 1800 = 0 ) yields ( v = 45 ) km/h (discarding the negative solution as speed must be positive). Verification: at 45 km/h, normal time is 2 hours; at 40 km/h, time is 2.25 hours, a difference of 0.25 hours (15 minutes), which matches. Thus, the correct answer is option b.

{"correct_answer_key": "b"}

The normal speed of the train is found by setting up an equation based on the given conditions. Let ( v ) be the normal speed in km/h. The time taken at normal speed is ( \frac{90}{v} ) hours. At a slower speed of ( v - 5 ) km/h, the time is ( \frac{90}{v-5} ) hours, which is 15 minutes (or ( \frac{1}{4} ) hour) longer. Solving the equation ( \frac{90}{v-5} = \frac{90}{v} + \frac{1}{4} ) leads to the quadratic equation ( v^2 - 5v - 1800 = 0 ). The solutions are ( v = 45 ) or ( v = -40 ), but speed cannot be negative, so ( v = 45 ) km/h. This matches option b.

{"correct_answer_key": "b"}

ให้ $v$ เป็นความเร็วปกติของรถไฟ (กม./ชม.) และ $t$ เป็นเวลาปกติที่ใช้ (ชั่วโมง) ระยะทางคือ 90 กม.

จากสูตร ระยะทาง = ความเร็ว × เวลา:

1. กรณีปกติ: $90 = v \times t$ (ดังนั้น $t = \frac{90}{v}$)

2. กรณีแล่นช้ากว่าปกติ: ความเร็วใหม่ = $v - 5$ กม./ชม. เวลาที่ใช้ = $t + 15$ นาที แปลง 15 นาทีเป็นชั่วโมง: $15 \text{ นาที} = \frac{15}{60} \text{ ชั่วโมง} = \frac{1}{4} \text{ ชั่วโมง}$ ดังนั้น เวลาใหม่ = $t + \frac{1}{4}$ ชั่วโมง

   จากสูตร ระยะทาง = ความเร็ว × เวลา: $90 = (v - 5) \times (t + \frac{1}{4})$

แทนค่า $t = \frac{90}{v}$ ลงในสมการที่สอง: $90 = (v - 5) \times (\frac{90}{v} + \frac{1}{4})$ $90 = v(\frac{90}{v}) + v(\frac{1}{4}) - 5(\frac{90}{v}) - 5(\frac{1}{4})$ $90 = 90 + \frac{v}{4} - \frac{450}{v} - \frac{5}{4}$

ลบ 90 ออกจากทั้งสองข้าง: $0 = \frac{v}{4} - \frac{450}{v} - \frac{5}{4}$

คูณตลอดสมการด้วย $4v$ เพื่อกำจัดส่วน: $0 \times 4v = (\frac{v}{4}) \times 4v - (\frac{450}{v}) \times 4v - (\frac{5}{4}) \times 4v$ $0 = v^2 - 1800 - 5v$

จัดรูปสมการกำลังสอง: $v^2 - 5v - 1800 = 0$

แยกตัวประกอบหรือใช้สูตรสมการกำลังสอง: $(v - 45)(v + 40) = 0$

ดังนั้น $v = 45$ หรือ $v = -40$ เนื่องจากความเร็วเป็นค่าลบไม่ได้ ความเร็วปกติของรถไฟคือ 45 กม./ชม.

ตรวจสอบคำตอบ:

• ความเร็วปกติ 45 กม./ชม. ใช้เวลา $90/45 = 2$ ชั่วโมง
• ความเร็วช้าลง 40 กม./ชม. ใช้เวลา $90/40 = 2.25$ ชั่วโมง
• เวลาที่เพิ่มขึ้นคือ $2.25 - 2 = 0.25$ ชั่วโมง ซึ่งเท่ากับ $0.25 \times 60 = 15$ นาที ตรงตามโจทย์

{"correct_answer_key":"b"}

Let V be the normal speed of the train in km/h. Let T be the normal time taken in hours. The distance is 90 km.

From the formula Distance = Speed × Time, we have: 90 = V * T (Equation 1)

If the train runs 5 km/h slower than usual, its speed is (V - 5) km/h. The time taken will be T + 15 minutes. Convert 15 minutes to hours: 15 minutes = 15/60 hours = 1/4 hours. So, the new time is (T + 1/4) hours.

Using the formula again for the slower speed: 90 = (V - 5) * (T + 1/4) (Equation 2)

From Equation 1, T = 90/V. Substitute this into Equation 2: 90 = (V - 5) * (90/V + 1/4)

Expand the right side: 90 = V * (90/V) + V * (1/4) - 5 * (90/V) - 5 * (1/4) 90 = 90 + V/4 - 450/V - 5/4

Subtract 90 from both sides: 0 = V/4 - 450/V - 5/4

Multiply the entire equation by 4V to eliminate denominators: 0 = V^2 - 450 * 4 - 5V 0 = V^2 - 1800 - 5V V^2 - 5V - 1800 = 0

This is a quadratic equation. We can solve for V using the quadratic formula or by factoring. Let's try factoring. We need two numbers that multiply to -1800 and add to -5. Consider factors of 1800: 40 * 45 = 1800 And 40 - 45 = -5. This works!

So, the equation can be factored as: (V - 45)(V + 40) = 0

This gives two possible values for V: V - 45 = 0 => V = 45 V + 40 = 0 => V = -40

Since speed cannot be negative, the normal speed of the train is 45 km/h.

Let's check the answer: Normal speed V = 45 km/h Normal time T = 90 km / 45 km/h = 2 hours

Slower speed = 45 - 5 = 40 km/h Time taken at slower speed = 90 km / 40 km/h = 9/4 hours = 2.25 hours Difference in time = 2.25 hours - 2 hours = 0.25 hours = 15 minutes. This matches the problem statement.

{"correct_answer_key":"b"}

หากความเร็วปกติคือ 45 กม./ชม. (ตัวเลือก b) จะใช้เวลาเดินทาง 90 กม. เป็นเวลา 90/45 = 2 ชั่วโมง เมื่อความเร็วลดลง 5 กม./ชม. เป็น 40 กม./ชม. จะใช้เวลา 90/40 = 2.25 ชั่วโมง ซึ่งช้ากว่าปกติ 0.25 ชั่วโมง หรือ 15 นาที ตรงตามที่โจทย์กำหนด

{"correct_answer_key":"b"}

To solve this, let $v$ be the normal speed (km/h) and $t$ be the normal time (hours). Using the formula $\text{Time} = \frac{\text{Distance}}{\text{Speed}}$:

1. Normal state: $t = \frac{90}{v}$
2. Slower state: $t + \frac{15}{60} = \frac{90}{v - 5}$ (Note: 15 minutes is $0.25$ or $1/4$ hours).

Substitute $t$: $\frac{90}{v} + \frac{1}{4} = \frac{90}{v - 5}$ $\frac{1}{4} = \frac{90}{v - 5} - \frac{90}{v}$ $\frac{1}{4} = \frac{90v - 90(v - 5)}{v(v - 5)}$ $\frac{1}{4} = \frac{450}{v^2 - 5v}$ $v^2 - 5v - 1800 = 0$ $(v - 45)(v + 40) = 0$

Since speed must be positive, $v = 45$ km/h.

{"correct_answer_key":"b"}

To find the normal speed ($v$), we use the formula $\text{Time} = \frac{\text{Distance}}{\text{Speed}}$.

1. Let the normal speed be $v$ km/h. The time taken is $\frac{90}{v}$.
2. If the speed is $v - 5$ km/h, the time taken is $\frac{90}{v - 5}$.
3. The difference in time is 15 minutes, which is $\frac{15}{60} = \frac{1}{4}$ hour.
4. Equation: $\frac{90}{v - 5} - \frac{90}{v} = \frac{1}{4}$
5. $90 \left( \frac{v - (v - 5)}{v(v - 5)} \right) = \frac{1}{4}$
6. $\frac{450}{v^2 - 5v} = \frac{1}{4}$
7. $v^2 - 5v - 1800 = 0$
8. $(v - 45)(v + 40) = 0$

Since speed must be positive, $v = 45$ km/h.

{"correct_answer_key":"b"}

To find the normal speed of the train, let $v$ be the normal speed in km/h. The distance is 90 km. The time difference is 15 minutes, which is $\frac{15}{60} = \frac{1}{4}$ hours.

The equation based on the time difference is: $$ \text{Time}{\text{slow}} - \text{Time}{\text{normal}} = \frac{1}{4} $$ $$ \frac{90}{v - 5} - \frac{90}{v} = \frac{1}{4} $$

Solving for $v$:

1. Factor out 90: $90(\frac{1}{v-5} - \frac{1}{v}) = \frac{1}{4}$
2. Find common denominator: $90(\frac{v - (v-5)}{v(v-5)}) = \frac{1}{4}$
3. Simplify: $90(\frac{5}{v^2 - 5v}) = \frac{1}{4}$
4. $\frac{450}{v^2 - 5v} = \frac{1}{4}$
5. Cross-multiply: $1800 = v^2 - 5v$
6. Rearrange to quadratic form: $v^2 - 5v - 1800 = 0$
7. Factor the quadratic equation: $(v - 45)(v + 40) = 0$

Since speed must be positive, $v = 45$ km/h.

{"correct_answer_key":"b"}

To find the normal speed of the train, let $v$ be the normal speed in km/h and $t$ be the normal time in hours. From the problem, the distance is 90 km, so $t = \frac{90}{v}$.

If the train runs 5 km/h slower ($v - 5$), it takes 15 minutes (or $\frac{15}{60} = 0.25$ hours) longer. The equation becomes: $$90 = (v - 5)(t + 0.25)$$

Substitute $t = \frac{90}{v}$: $$90 = (v - 5)(\frac{90}{v} + 0.25)$$ Multiply by $v$ to clear the fraction: $$90v = (v - 5)(90 + 0.25v)$$ $$90v = 90v + 0.25v^2 - 450 - 1.25v$$ $$0 = 0.25v^2 - 1.25v - 450$$

Multiply by 4 to simplify: $$v^2 - 5v - 1800 = 0$$

Factor the quadratic equation: $$(v - 45)(v + 40) = 0$$

Since speed must be positive, $v = 45$ km/h.

Verification: Normal time: $90 / 45 = 2$ hours. Slower time (at 40 km/h): $90 / 40 = 2.25$ hours. Difference: $2.25 - 2 = 0.25$ hours (15 minutes).

This matches option b.

{"correct_answer_key":"b"}

Let $v$ be the normal speed of the train in km/h. The normal time to travel 90 km is $90/v$ hours. If the train travels 5 km/h slower, the new speed is $v - 5$, and the time taken is $90/(v - 5)$ hours. We are given that the time difference is 15 minutes, which is $15/60$ or $1/4$ of an hour.

Setting up the equation: $90/(v - 5) - 90/v = 1/4$

Multiplying the entire equation by $4v(v - 5)$ to clear the denominators gives: $360v - 360(v - 5) = v(v - 5)$ $360v - 360v + 1800 = v^2 - 5v$ $v^2 - 5v - 1800 = 0$

Factoring the quadratic equation gives: $(v - 45)(v + 40) = 0$

Since speed must be positive, the normal speed $v$ is 45 km/h. This corresponds to option B.

{"correct_answer_key":"b"}

Let $v$ be the normal speed of the train in km/h. The normal time to travel 90 km is $90/v$ hours. If the train travels 5 km/h slower, the new speed is $v - 5$, and the time taken is $90/(v - 5)$ hours. We are given that the time difference is 15 minutes, which is $15/60$ or $1/4$ of an hour.

Setting up the equation: $90/(v - 5) - 90/v = 1/4$

Multiplying the entire equation by $4v(v - 5)$ to clear the denominators gives: $360v - 360(v - 5) = v(v - 5)$ $360v - 360v + 1800 = v^2 - 5v$ $v^2 - 5v - 1800 = 0$

Factoring the quadratic equation gives: $(v - 45)(v + 40) = 0$

Since speed must be positive, the normal speed $v$ is 45 km/h. This corresponds to option B.

{"correct_answer_key":"b"}

This question is in Thai. Here's the translation and explanation:

"A train, if traveling 5 kilometers per hour slower than usual, takes 15 minutes longer to cover a distance of 90 kilometers. What is the normal speed of the train in kilometers per hour?"

Let 'x' be the normal speed. Then the slower speed is 'x-5'.

Time = Distance / Speed

Normal time = 90/x Slower time = 90/(x-5)

The slower time is 15 minutes (0.25 hours) longer. So:

90/(x-5) = 90/x + 0.25

Solving for x:

90/(x-5) - 90/x = 0.25 90x - 90(x-5) = 0.25x(x-5) 450 = 0.25x^2 - 1.25x 0 = 0.25x^2 - 1.25x - 450 0 = x^2 - 5x - 1800 0 = (x - 45)(x + 40)

Since speed cannot be negative, x = 45.

Therefore, the normal speed of the train is 45 km/h.

{"correct_answer_key":"b"}

The question involves finding the normal speed of a train given that running 5 km/h slower for a 90 km distance takes 15 minutes longer than normal. The key is to set up an equation relating the normal speed (v) (in km/h), the distance, and the time difference.

• Normal time: ( t = \frac{90}{v} ) hours.
• Slower speed: ( v - 5 ) km/h.
• Slower time: ( t' = \frac{90}{v - 5} ) hours.
• Time difference: ( t' = t + 0.25 ) (since 15 minutes = 0.25 hours).

This gives the equation: [ \frac{90}{v - 5} = \frac{90}{v} + 0.25 ]

Solving: [ \frac{90}{v - 5} - \frac{90}{v} = 0.25 ] [ 90 \left( \frac{1}{v - 5} - \frac{1}{v} \right) = 0.25 ] [ 90 \left( \frac{5}{v(v - 5)} \right) = 0.25 ] [ \frac{450}{v(v - 5)} = 0.25 ] [ 450 = 0.25 v(v - 5) ] [ 1800 = v^2 - 5v ] [ v^2 - 5v - 1800 = 0 ]

Factoring the quadratic: [ (v - 45)(v + 40) = 0 ] Solutions: ( v = 45 ) or ( v = -40 ). Since speed cannot be negative, ( v = 45 ) km/h.

Verification:

• Normal speed: 45 km/h, time = ( \frac{90}{45} = 2 ) hours.
• Slower speed: 40 km/h, time = ( \frac{90}{40} = 2.25 ) hours.
• Difference: ( 2.25 - 2 = 0.25 ) hours (15 minutes), which matches.

Thus, the normal speed is 45 km/h, corresponding to option b.

{"correct_answer_key":"b"}

The problem states that a train traveling 5 km/h slower than normal over 90 km takes 15 minutes longer than the normal time. We need to find the normal speed in km/h.

Let the normal speed be (v) km/h.

• Normal time for 90 km: ( \frac{90}{v} ) hours.
• Slower speed: (v - 5) km/h.
• Slower time: ( \frac{90}{v-5} ) hours.

The slower time is 15 minutes (0.25 hours) more than normal:
[ \frac{90}{v-5} = \frac{90}{v} + 0.25 ]

Solve the equation:

1. Multiply both sides by (v(v-5)):
   [ 90v = 90(v-5) + 0.25v(v-5) ]
2. Expand:
   [ 90v = 90v - 450 + 0.25v^2 - 1.25v ]
3. Simplify:
   [ 0 = -450 + 0.25v^2 - 1.25v ]
   [ 0.25v^2 - 1.25v - 450 = 0 ]
4. Multiply by 4 to clear decimals:
   [ v^2 - 5v - 1800 = 0 ]
5. Quadratic formula:
   [ v = \frac{5 \pm \sqrt{25 + 7200}}{2} = \frac{5 \pm \sqrt{7225}}{2} = \frac{5 \pm 85}{2} ]
6. Solutions:
   [ v = \frac{90}{2} = 45 \quad \text{(valid)} ]
   [ v = \frac{-80}{2} = -40 \quad \text{(invalid, speed > 0)} ]

Normal speed is 45 km/h.
Verification:

• Normal time: ( \frac{90}{45} = 2 ) hours.
• Slower speed: (45 - 5 = 40) km/h.
• Slower time: ( \frac{90}{40} = 2.25) hours = 2 hours 15 minutes, which is 15 minutes longer.

Option b is correct.

{"correct_answer_key":"b"}

Let the normal speed of the train be v km/h. The time taken at normal speed is 90/v hours. The time taken at the slower speed (v-5 km/h) is 90/(v-5) hours. The difference in time is 15 minutes, which is 15/60 = 0.25 hours. So, the equation is: 90/(v-5) - 90/v = 0.25. Solving this equation: 90v - 90(v-5) = 0.25 * v * (v-5) 450 = 0.25 * (v^2 - 5v) 1800 = v^2 - 5v v^2 - 5v - 1800 = 0 Factoring the quadratic equation gives (v-45)(v+40) = 0. Since speed cannot be negative, v = 45. The normal speed of the train is 45 km/h, which corresponds to option B.

{"correct_answer_key":"b"}

Let the usual speed of the train be $v$ km/h. The usual time to travel 90 km is $90/v$ hours. The new speed is $v - 5$ km/h, so the new time is $90/(v - 5)$ hours. The problem states the new time is 15 minutes (or 0.25 hours) longer than the usual time. Therefore, we can set up the equation:

$$ \frac{90}{v - 5} - \frac{90}{v} = 0.25 $$

Multiplying the entire equation by $v(v - 5)$ to clear the denominators:

$$ 90v - 90(v - 5) = 0.25v(v - 5) $$ $$ 90v - 90v + 450 = 0.25v^2 - 1.25v $$ $$ 450 = 0.25v^2 - 1.25v $$

Multiplying by 4 to remove decimals:

$$ 1800 = v^2 - 5v $$ $$ v^2 - 5v - 1800 = 0 $$

Factoring the quadratic equation: We need two numbers that multiply to $-1800$ and add to $-5$. These numbers are $-45$ and $40$.

$$ (v - 45)(v + 40) = 0 $$

Since speed cannot be negative, $v = 45$.

Checking: If speed is 45 km/h, time is $90/45 = 2$ hours. New speed is 40 km/h, time is $90/40 = 2.25$ hours. The difference is 0.25 hours, which is 15 minutes. This matches the problem.

{"correct_answer_key":"b"}

{"correct_answer_key":"b"}

Let $v$ be the normal speed of the train in km/h. The normal time to travel 90 km is $90/v$ hours. When the speed is reduced by 5 km/h, the new speed is $v-5$ km/h, and the time taken is $90/(v-5)$ hours. The difference in time is 15 minutes, which is equal to $15/60 = 0.25$ hours. So, the equation is: $90/(v-5) - 90/v = 0.25$ Multiplying by $4v(v-5)$ to clear fractions: $360v - 360(v-5) = v(v-5)$ $1800 = v^2 - 5v$ $v^2 - 5v - 1800 = 0$ Factoring the quadratic equation: $(v - 45)(v + 40) = 0$ Since speed cannot be negative, $v = 45$ km/h. Checking the options, 45 km/h corresponds to option b.

{"correct_answer_key":"b"}

ให้ความเร็วปกติเท่ากับ $x$ กิโลเมตรต่อชั่วโมง เวลาที่ใช้ปกติ = $\frac{90}{x}$ ชั่วโมง เวลาที่ใช้เมื่อแล่นช้าลง 5 กม./ชม. = $\frac{90}{x-5}$ ชั่วโมง ความต่างของเวลาคือ 15 นาที หรือ $\frac{1}{4}$ ชั่วโมง จะได้สมการ $\frac{90}{x-5} - \frac{90}{x} = \frac{1}{4}$ คูณตลอดด้วย $4x(x-5)$ เพื่อลบตัวส่วน: $360x - 360(x-5) = x(x-5)$ $360x - 360x + 1800 = x^2 - 5x$ $x^2 - 5x - 1800 = 0$ แยกตัวประกอบได้เป็น $(x-45)(x+40) = 0$ ดังนั้น $x = 45$ (เนื่องจากความเร็วต้องเป็นค่าบวก) ความเร็วปกติของรถไฟคือ 45 กม./ชม. ตรงกับตัวเลือก ข

{"correct_answer_key":"b"}

สมมติความเร็วปกติเป็น v (กม./ชม.). เวลาเพิ่ม = 90/(v-5) - 90/v = 0.25 ชั่วโมง. แก้สมการได้ v^2 - 5v - 1800 = 0 → v = 45 กม./ชม.

{"correct_answer_key":"b"}

สมมติความเร็วปกติเป็น v กม./ชม เมื่อช้าลง 5 กม./ชม เหมือน 90 กม. จะใช้เวลาเพิ่ม 0.25 ชั่วโมง จึงเขียนสมการ 90/(v-5) - 90/v = 0.25 → v(v-5) = 1800 → v^2 - 5v - 1800 = 0 และได้ v = 45 กม./ชม. ดังนั้นความเร็วปกติคือ 45 กม./ชม. จึงเลือกข้อ B

{"correct_answer_key":"b"}

ให้ v เป็นความเร็วปกติ (กม./ชม.)

เวลาเดินทางปกติ:
( t_1 = \dfrac{90}{v} )

เมื่อแล่นช้าลง 5 กม./ชม. ความเร็วใหม่คือ ( v - 5 )
เวลาเดินทางใหม่:
( t_2 = \dfrac{90}{v - 5} )

กำหนดให้ใช้เวลามากกว่าปกติ 15 นาที = 0.25 ชั่วโมง
จึงได้สมการ: [ \frac{90}{v - 5} - \frac{90}{v} = 0.25 ]

จัดรูป: [ 90\left(\frac{1}{v - 5} - \frac{1}{v}\right) = 0.25 ] [ 90 \cdot \frac{v - (v - 5)}{v(v - 5)} = 0.25 ] [ 90 \cdot \frac{5}{v(v - 5)} = 0.25 ] [ \frac{450}{v(v - 5)} = 0.25 ] [ v(v - 5) = \frac{450}{0.25} = 1800 ] [ v^2 - 5v - 1800 = 0 ]

แก้สมการกำลังสอง: [ v = \frac{5 \pm \sqrt{25 + 7200}}{2} = \frac{5 \pm \sqrt{7225}}{2} = \frac{5 \pm 85}{2} ]

ได้ ( v = 45 ) หรือ ( v = -40 ) (ตัดทิ้งเพราะความเร็วต้องเป็นบวก)
ดังนั้นความเร็วปกติคือ 45 กม./ชม. ตรงกับตัวเลือกข้อ b

{"correct_answer_key":"b"}

ให้ความเร็วปกติเป็น ( v ) กม./ชม.

เวลาเดินทางปกติ = ( \frac{90}{v} ) ชั่วโมง
เวลาเมื่อช้าลง 5 กม./ชม. = ( \frac{90}{v-5} ) ชั่วโมง

กำหนดให้ใช้เวลามากขึ้น 15 นาที (0.25 ชั่วโมง):

[ \frac{90}{v-5} - \frac{90}{v} = 0.25 ]

แก้สมการได้:

[ v^2 - 5v - 1800 = 0 ]

ได้คำตอบ ( v = 45 ) กม./ชม.

{"correct_answer_key":"b"}

ให้ความเร็วปกติเป็น (v) กม./ชม. เวลาเดินทางปกติคือ (90/v) ชม. ถ้าช้าลง 5 กม./ชม. เวลาเป็น (90/(v-5)) ชม. และใช้เวลามากขึ้น 15 นาที (=0.25) ชม.
ตั้งสมการ ( \frac{90}{v-5}-\frac{90}{v}=0.25 ) แก้ได้ (v=45) กม./ชม.

{"correct_answer_key":"b"}

The normal speed (v) satisfies

[ \frac{90}{v-5}-\frac{90}{v}=0.25\text{ h} ]

[ 90\left(\frac{1}{v-5}-\frac{1}{v}\right)=0.25;\Rightarrow; \frac{450}{v(v-5)}=0.25;\Rightarrow; v(v-5)=1800 ]

[ v^{2}-5v-1800=0;\Rightarrow;v=\frac{5+\sqrt{7225}}{2}=45\text{ km/h} ]

So the normal speed is 45 km/h, which corresponds to option b.

{"correct_answer_key":"b"}

The train’s normal speed (v) satisfies

[ \frac{90}{v-5} - \frac{90}{v} = 0.25 \text{ hour} ]

Solving gives (v = 45) km/h.
Thus the correct choice is b.

{"correct_answer_key":"b"}

{"correct_answer_key":"b"}

สมมติให้ความเร็วปกติของรถไฟเป็น $v$ กม./ชม. เวลาปกติที่ใช้เดินทาง 90 กม. คือ $\frac{90}{v}$ ชั่วโมง เมื่อแล่นช้ากว่าปกติ 5 กม./ชม. จะใช้เวลา $\frac{90}{v-5}$ ชั่วโมง โดยเวลาต่างกัน 15 นาที หรือ $\frac{1}{4}$ ชั่วโมง

ตั้งสมการ: $\frac{90}{v-5} - \frac{90}{v} = \frac{1}{4}$

แก้สมการ: $$\frac{90v - 90(v-5)}{v(v-5)} = \frac{1}{4}$$ $$\frac{450}{v(v-5)} = \frac{1}{4}$$ $$v(v-5) = 1800$$ $$v^2 - 5v - 1800 = 0$$ $$(v-45)(v+40) = 0$$

ได้ $v = 45$ หรือ $v = -40$ (ไม่สมเหตุสมผล) ตรวจสอบ: ความเร็ว 45 กม./ชม. ใช้เวลา 2 ชม. ส่วน 40 กม./ชม. ใช้เวลา 2.25 ชม. (2 ชม. 15 นาที) ต่างกัน 15 นาที ถูกต้อง

{"correct_answer_key":"b"}

เราสามารถใช้สูตรในการคำนวณได้ โดยสูตรคือ ระยะทาง = ความเร็ว × เวลา

ให้ $v$ เป็นความเร็วปกติของรถไฟ และ $t$ เป็นเวลาที่รถไฟใช้ในการเดินทางด้วยความเร็วปกติ

ดังนั้น $90 = v \times t$ และ $t = \frac{90}{v}$

เมื่อรถไฟแล่นช้ากว่าปกติ 5 กิโลเมตรต่อชั่วโมง จะใช้เวลา $\frac{90}{v-5}$

และเรารู้ว่า $\frac{90}{v-5} = t + \frac{15}{60} = \frac{90}{v} + \frac{1}{4}$

แทนค่า $t = \frac{90}{v}$ ลงในสมการและแก้สมการ:

$\frac{90}{v-5} - \frac{90}{v} = \frac{1}{4}$ $\frac{90v - 90(v-5)}{v(v-5)} = \frac{1}{4}$ $\frac{450}{v(v-5)} = \frac{1}{4}$ $1800 = v(v-5)$ $v^2 - 5v - 1800 = 0$ $(v-45)(v+40) = 0$

$v = 45$ หรือ $v = -40$ แต่ความเร็วไม่สามารถเป็นลบได้ ดังนั้น $v = 45$

ดังนั้น ความเร็วปกติของรถไฟคือ 45 กิโลเมตรต่อชั่วโมง

{"correct_answer_key":"b"}

Step 1: Understand the problem

The problem describes a situation where a train travels at a reduced speed, resulting in it taking 15 more minutes to cover a certain distance compared to its normal speed. We need to find the normal speed of the train.

Step 2: Define the variables and known information

• Let (v) be the normal speed of the train in kilometers per hour (km/h).
• The distance covered is 90 kilometers.
• The train travels 5 km/h slower than normal, taking 15 minutes longer to cover 90 km.

3: Convert time to hours for consistency

15 minutes is (\frac{15}{60} = \frac{1}{4}) hours.

4: Formulate the equation based on the given information

The time taken to travel 90 km at normal speed (v) km/h is (\frac{90}{v}) hours. The time taken at the reduced speed is (\frac{90}{v-5}) hours.

5: Set up the equation

The difference in time taken is 15 minutes or (\frac{1}{4}) hours. So, we have: [\frac{90}{v-5} - \frac{90}{v} = \frac{1}{4}]

6: Solve the equation

Multiplying every term by (4v(v-5)) to clear the denominators: [4 \cdot 90v - 4 \cdot 90(v-5) = v(v-5)] [360v - 360(v-5) = v(v-5)] [360v - 360v + 1800 = v^2 - 5v] [1800 = v^2 - 5v] Rearranging gives: [v^2 - 5v - 1800 = 0]

5: Solve the quadratic equation

Using the quadratic formula where (a=1), (b=-5), and (c=-1800): [v = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}] [v = \frac{5 \pm \sqrt{(-5)^2 - 4(1)(-1800)}}{2(1)}] [v = \frac{5 \pm \sqrt{25 + 7200}}{2}] [v = \frac{5 \pm \sqrt{7225}}{2}] [v = \frac{5 \pm 85}{2}]

6: Calculate the roots

[v = \frac{5 + 85}{2} = \frac{90}{2} = 45] [v = \frac{5 - 85}{2} = -40] Since speed cannot be negative, we discard (v = -40).

7: Identify the correct answer

The only positive and sensible solution is (v = 45) km/h.

Step 8: Provide the final answer in the required JSON format

Given that the normal speed of the train must be a positive value, the correct answer is 45 km/h.

The final answer is:

{"correct_answer_key":"c"}

Let ( v ) be the normal speed in km/h.
The time taken at normal speed for 90 km is ( \frac{90}{v} ) hours.
If the train goes 5 km/h slower, its speed is ( v-5 ) km/h, and the time taken is ( \frac{90}{v-5} ) hours.
The difference in time is 15 minutes = ( \frac{15}{60} = \frac{1}{4} ) hour.
So we have the equation:

[ \frac{90}{v-5} - \frac{90}{v} = \frac{1}{4} ]

Multiply both sides by ( 4v(v-5) ):

[ 4 \cdot 90 \cdot v - 4 \cdot 90 \cdot (v-5) = v(v-5) ]

Simplify:

[ 360v - 360(v-5) = v^2 - 5v ] [ 360v - 360v + 1800 = v^2 - 5v ] [ 1800 = v^2 - 5v ] [ v^2 - 5v - 1800 = 0 ]

Solve the quadratic equation:

[ v = \frac{5 \pm \sqrt{25 + 7200}}{2} = \frac{5 \pm \sqrt{7225}}{2} = \frac{5 \pm 85}{2} ]

Taking the positive root:

[ v = \frac{5 + 85}{2} = \frac{90}{2} = 45 ]

Thus, the normal speed is 45 km/h.

{"correct_answer_key":"b"}

แก้โจทย์ปัญหา

ข้อมูลที่กำหนด

• ระยะทาง = 90 กิโลเมตร
• ความเร็วปกติ = v กม./ชม.
• ความเร็วช้ากว่าปกติ = v - 5 กม./ชม.
• ใช้เวลามากกว่าปกติ 15 นาที = 15/60 = 1/4 ชั่วโมง

สมการ

เวลาปกติ = 90/v ชั่วโมง เวลาตอนช้ากว่า = 90/(v-5) ชั่วโมง

$$\frac{90}{v-5} - \frac{90}{v} = \frac{1}{4}$$

แก้สมการ

$$\frac{450}{v(v-5)} = \frac{1}{4}$$

$$1800 = v^2 - 5v$$

$$v^2 - 5v - 1800 = 0$$

$$v = \frac{5 \pm \sqrt{25 + 7200}}{2} = \frac{5 \pm 85}{2}$$

ได้ค่า v = 45 กม./ชม. (ค่าลบตัดออก)

คำตอบ

ความเร็วปกติของรถไฟคือ 45 กิโลเมตรต่อชั่วโมง

{"correct_answer_key":"b"}

คำอธิบาย:

เราต้องหาความเร็วปกติของรถไฟ (( v )) โดยใช้ข้อมูลที่ให้มา:

1. ระยะทาง = 90 กม.
2. ความเร็วช้าลง = ( v - 5 ) กม./ชม.
3. เวลาที่ใช้เพิ่มขึ้น = 15 นาที = ( \frac{1}{4} ) ชั่วโมง

สมการเวลา: [ \text{เวลาปกติ} = \frac{90}{v} ] [ \text{เวลาช้า} = \frac{90}{v - 5} ] [ \frac{90}{v - 5} - \frac{90}{v} = \frac{1}{4} ]

แก้สมการ: [ 90 \left( \frac{1}{v - 5} - \frac{1}{v} \right) = \frac{1}{4} ] [ 90 \left( \frac{v - (v - 5)}{v(v - 5)} \right) = \frac{1}{4} ] [ 90 \left( \frac{5}{v(v - 5)} \right) = \frac{1}{4} ] [ \frac{450}{v(v - 5)} = \frac{1}{4} ] [ v(v - 5) = 1800 ] [ v^2 - 5v - 1800 = 0 ]

แก้สมการกำลังสอง: [ v = \frac{5 \pm \sqrt{25 + 7200}}{2} = \frac{5 \pm \sqrt{7225}}{2} = \frac{5 \pm 85}{2} ] [ v = 45 \quad (\text{ค่าบวกเพราะความเร็วไม่เป็นลบ}) ]

คำตอบ:

ความเร็วปกติของรถไฟคือ 45 กม./ชม.

{"correct_answer_key": "b"}

The train’s usual speed (v) satisfies
[ \frac{90}{v-5} - \frac{90}{v}=0.25\text{ hour}. ]
Solving gives (v(v-5)=1800) → (v^2-5v-1800=0).
The positive root is (v = \frac{5+85}{2}=45) km/h, which matches option b.

{"correct_answer_key":"b"}

Explanation

Problem Breakdown:

• Given:

  • The train is running 5 km/h slower than its usual speed.
  • The distance is 90 km.
  • Due to the slower speed, the train takes 15 minutes (or 0.25 hours) longer than usual.

• Goal:
  Find the normal speed of the train in km/h.

Step-by-Step Solution

Let the normal speed of the train be $ v $ km/h.

Then, the slower speed is $ v - 5 $ km/h.

1. Time taken at normal speed:

$$ t_{\text{normal}} = \frac{90}{v} $$

2. Time taken at slower speed:

$$ t_{\text{slow}} = \frac{90}{v - 5} $$

3. The difference in time is 15 minutes = 0.25 hours:

$$ \frac{90}{v - 5} - \frac{90}{v} = 0.25 $$

4. Solve the equation:

$$ 90 \left( \frac{1}{v - 5} - \frac{1}{v} \right) = 0.25 $$

$$ 90 \left( \frac{v - (v - 5)}{v(v - 5)} \right) = 0.25 $$

$$ 90 \left( \frac{5}{v(v - 5)} \right) = 0.25 $$

$$ \frac{450}{v(v - 5)} = 0.25 $$

Multiply both sides by $ v(v - 5) $:

$$ 450 = 0.25 v(v - 5) $$

$$ 450 = 0.25(v^2 - 5v) $$

Multiply both sides by 4:

$$ 1800 = v^2 - 5v $$

Bring all terms to one side:

$$ v^2 - 5v - 1800 = 0 $$

5. Solve the quadratic equation:

Use the quadratic formula:

$$ v = \frac{-(-5) \pm \sqrt{(-5)^2 - 4(1)(-1800)}}{2(1)} = \frac{5 \pm \sqrt{25 + 7200}}{2} $$

$$ v = \frac{5 \pm \sqrt{7225}}{2} = \frac{5 \pm 85}{2} $$

$$ v = \frac{90}{2} = 45 \quad \text{or} \quad v = \frac{-80}{2} = -40 $$

We discard the negative value, so:

$$ v = 45 \text{ km/h} $$

Final Answer

{"correct_answer_key":"b"}

To find the normal speed of the train, we can set up an equation based on the given information. Let's denote the normal speed of the train as ( v ) km/h.

1. The train travels 90 km at a speed that is 5 km/h slower than normal, so its speed is ( v - 5 ) km/h.
2. The time taken at this slower speed is ( \frac{90}{v - 5} ) hours.
3. The normal time to travel 90 km is ( \frac{90}{v} ) hours.
4. The difference in time is given as 15 minutes, which is ( \frac{15}{60} = 0.25 ) hours.

We can set up the equation: [ \frac{90}{v - 5} - \frac{90}{v} = 0.25 ]

Solving this equation for ( v ) will give us the normal speed of the train.

After solving the equation, we find that the normal speed ( v ) is 45 km/h.

{"correct_answer_key":"b"}

To solve this problem, we need to determine the usual speed of the train in kilometers per hour (km/h). Here's the step-by-step explanation:

1. Let ( v ) be the usual speed of the train in km/h.
2. The train runs slower by 5 km/h, so its slower speed is ( v - 5 ) km/h.
3. The distance covered is 90 km.
4. The time taken at the usual speed is ( \frac{90}{v} ) hours.
5. The time taken at the slower speed is ( \frac{90}{v - 5} ) hours.
6. According to the problem, the slower speed takes 15 minutes longer than the usual speed. Convert 15 minutes to hours: ( 15 \text{ minutes} = \frac{15}{60} \text{ hours} = 0.25 \text{ hours} ).

So, we have the equation: [ \frac{90}{v - 5} - \frac{90}{v} = 0.25 ]

To solve this equation, we first find a common denominator and simplify: [ \frac{90v - 90(v - 5)}{v(v - 5)} = 0.25 ] [ \frac{90v - 90v + 450}{v(v - 5)} = 0.25 ] [ \frac{450}{v(v - 5)} = 0.25 ]

Next, we multiply both sides by ( v(v - 5) ) to clear the fraction: [ 450 = 0.25v(v - 5) ] [ 450 = 0.25v^2 - 1.25v ]

To make it a standard quadratic equation, multiply through by 4 to clear the decimal: [ 1800 = v^2 - 5v ] [ v^2 - 5v - 1800 = 0 ]

Now, we solve this quadratic equation using the quadratic formula ( v = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} ), where ( a = 1 ), ( b = -5 ), and ( c = -1800 ): [ v = \frac{-(-5) \pm \sqrt{(-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1800)}}{2 \cdot 1} ] [ v = \frac{5 \pm \sqrt{25 + 7200}}{2} ] [ v = \frac{5 \pm \sqrt{7225}}{2} ] [ v = \frac{5 \pm 85}{2} ]

This gives us two solutions: [ v = \frac{90}{2} = 45 ] [ v = \frac{-80}{2} = -40 ] (not a feasible solution since speed cannot be negative)

Therefore, the usual speed of the train is ( 45 ) km/h.

The correct answer is:

{"correct_answer_key":"b"}

To solve this problem, we need to set up an equation based on the given information. Let ( v ) be the normal speed of the train in kilometers per hour (km/h).

When the train travels 5 km/h slower, its speed becomes ( v - 5 ) km/h. The time taken to travel 90 km at this reduced speed is ( \frac{90}{v-5} ) hours.

The time taken to travel the same distance at the normal speed is ( \frac{90}{v} ) hours.

According to the problem, the difference in time is 15 minutes, which is ( \frac{1}{4} ) hours. Therefore, we can write the equation:

[ \frac{90}{v-5} - \frac{90}{v} = \frac{1}{4} ]

To solve this equation, find a common denominator and simplify:

[ \frac{90v - 90(v-5)}{v(v-5)} = \frac{1}{4} ]

[ \frac{90v - 90v + 450}{v(v-5)} = \frac{1}{4} ]

[ \frac{450}{v(v-5)} = \frac{1}{4} ]

Cross-multiplying gives:

[ 4 \times 450 = v(v - 5) ]

[ 1800 = v^2 - 5v ]

[ v^2 - 5v - 1800 = 0 ]

Solving this quadratic equation using the quadratic formula ( v = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} ), where ( a = 1 ), ( b = -5 ), and ( c = -1800 ):

[ v = \frac{5 \pm \sqrt{25 + 7200}}{2} ]

[ v = \frac{5 \pm \sqrt{7225}}{2} ]

[ v = \frac{5 \pm 85}{2} ]

We discard the negative solution, so:

[ v = \frac{90}{2} = 45 ]

Thus, the normal speed of the train is 45 km/h.

{"correct_answer_key":"b"}

To solve this problem, we can use the formula for time, which is distance divided by speed. Let ( v ) be the normal speed of the train in km/h. The time it takes to travel 90 km at the normal speed is ( \frac{90}{v} ) hours. When the train travels 5 km/h slower, its speed is ( v - 5 ) km/h, and the time it takes is ( \frac{90}{v - 5} ) hours. The difference in time is given as 15 minutes, which is ( \frac{15}{60} = \frac{1}{4} ) hours.

Setting up the equation: [ \frac{90}{v - 5} - \frac{90}{v} = \frac{1}{4} ]

Solving this equation involves finding a common denominator and simplifying: [ \frac{90v - 90(v - 5)}{v(v - 5)} = \frac{1}{4} ] [ \frac{450}{v(v - 5)} = \frac{1}{4} ] [ 1800 = v(v - 5) ] [ v^2 - 5v - 1800 = 0 ]

Using the quadratic formula ( v = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} ), where ( a = 1 ), ( b = -5 ), and ( c = -1800 ): [ v = \frac{5 \pm \sqrt{25 + 7200}}{2} ] [ v = \frac{5 \pm \sqrt{7225}}{2} ] [ v = \frac{5 \pm 85}{2} ]

The positive solution is: [ v = \frac{90}{2} = 45 ]

Thus, the normal speed of the train is 45 km/h, which corresponds to option B.

{"correct_answer_key":"b"}

คำอธิบายโดยย่อ:
โดยกำหนดให้ v คือความเร็วปกติ (กม./ชม.)
• เมื่อรถไฟวิ่งด้วยความเร็ว v จะใช้เวลา 90/v ชั่วโมง
• เมื่อรถไฟวิ่งช้าลง 5 กม./ชม. (เหลือ v−5) จะใช้เวลา 90/(v−5) ชั่วโมง ซึ่งมากกว่าเวลาเดิม 15 นาที (0.25 ชั่วโมง)

สมการ:
(90÷(v−5)) − (90÷v) = 0.25

แก้สมการจะได้ v = 45 กม./ชม.

ตอบในรูป JSON:
{"correct_answer_key":"b"}

เวลาปกติ = 90 km ÷ v
เวลาช้าลง 5 km/h = 90 km ÷ (v – 5)
ส่วนต่างเวลา = 15 min = 0.25 h

90/(v – 5) – 90/v = 0.25
คูณจัดรูป: 90·5 / [v(v – 5)] = 0.25 → 450 = 0.25 v(v – 5)
4·450 = v(v – 5) → 1800 = v² – 5v
v² – 5v – 1800 = 0 → v = 45 km/h

จึงความเร็วปกติคือ 45 กม./ชม. (ข้อ b)

{"correct_answer_key":"b"}

รถไฟใช้เวลาเพิ่ม 15 นาที (0.25 ชั่วโมง) เมื่อวิ่งช้าลง 5 กม./ชม.
ให้ความเร็วปกติ = v กม./ชม.
เวลาใช้วิ่ง 90 กม. ที่ความเร็ว v คือ 90/v
เวลาใช้วิ่ง 90 กม. ที่ความเร็ว v‑5 คือ 90/(v‑5)
ความต่างเวลา 90/(v‑5) − 90/v = 0.25

แก้สมการ
90[1/(v‑5) − 1/v] = 0.25
90·5/[v(v‑5)] = 0.25
450 = 0.25 v(v‑5)
v(v‑5) = 1800
v² − 5v − 1800 = 0
v = 45 (คำตอบบวกเดียวที่เป็นไปได้)

ดังนั้นความเร็วปกติคือ 45 กม./ชม. ตรงกับตัวเลือกข้อ b

{"correct_answer_key":"b"}

เวลาปกติ = 90 km ÷ v
เวลาช้าลง = 90 km ÷ (v − 5)

ต่างกัน 15 นาที = 0.25 ชั่วโมง

90/(v−5) − 90/v = 0.25
90·5 / [v(v−5)] = 0.25
v(v−5) = 1800
v² − 5v − 1800 = 0 → v = 45 km/h

จึงความเร็วปกติของรถไฟคือ 45 กิโลเมตรต่อชั่วโมง (ตัวเลือก b)

{"correct_answer_key":"b"}

อธิบายสั้น ๆ: ให้ v เป็นความเร็วปกติ (กม./ชม.) จะได้
90/(v–5) – 90/v = 0.25
แก้สมการได้ v = 45 กม./ชม. ดังนั้นคำตอบคือข้อ b

{"correct_answer_key":"b"}

ให้กำหนดความเร็วปกติเป็น v กม./ชม. จะได้ว่า
เวลาเมื่อช้าลง = 90/(v–5) และเวลาเดิม = 90/v
ต่างกัน 0.25 ชั่วโมง จึงได้สมการ
90/(v–5) – 90/v = 0.25
แก้สมการได้ v = 45 กม./ชม.

{"correct_answer_key":"b"}

สมมติความเร็วปกติ = v กม./ชม.
เวลาปกติ = 90/v ชม.
เวลาเมื่อช้าลง = 90/(v−5) ชม.
ต่างกัน 0.25 ชม. ⇒ 90/(v−5) − 90/v = 0.25
แก้สมการได้ v = 45 กม./ชม.

{"correct_answer_key":"b"}

ให้ความเร็วปกติของรถไฟเป็น ( x ) กิโลเมตรต่อชั่วโมง และความเร็วที่แล่นช้ากว่าปกติเป็น ( x - 5 ) กิโลเมตรต่อชั่วโมง

เวลาที่ใช้ในการเดินทางระยะทาง 90 กิโลเมตร ด้วยความเร็วปกติคือ ( \frac{90}{x} ) ชั่วโมง

เวลาที่ใช้ในการเดินทางระยะทาง 90 กิโลเมตร ด้วยความเร็วที่แล่นช้ากว่าปกติคือ ( \frac{90}{x - 5} ) ชั่วโมง

ตามข้อสอบ รถไฟใช้เวลามากกว่าปกติ 15 นาที ซึ่งเท่ากับ ( \frac{15}{60} = \frac{1}{4} ) ชั่วโมง

ดังนั้น สมการที่เกี่ยวข้องคือ:

[ \frac{90}{x - 5} - \frac{90}{x} = \frac{1}{4} ]

เราจะหาค่า ( x ) โดยแก้สมการนี้:

[ \frac{90x - 90(x - 5)}{x(x - 5)} = \frac{1}{4} ]

[ \frac{90x - 90x + 450}{x(x - 5)} = \frac{1}{4} ]

[ \frac{450}{x(x - 5)} = \frac{1}{4} ]

แก้สมการ:

[ 450 \times 4 = x(x - 5) ]

[ 1800 = x^2 - 5x ]

[ x^2 - 5x - 1800 = 0 ]

ใช้สูตรหาค่าคู่ของสมการสองสัมประสิทธิ์:

[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} ]

โดยที่ ( a = 1 ), ( b = -5 ), ( c = -1800 )

[ x = \frac{-(-5) \pm \sqrt{(-5)^2 - 4 \times 1 \times (-1800)}}{2 \times 1} ]

[ x = \frac{5 \pm \sqrt{25 + 7200}}{2} ]

[ x = \frac{5 \pm \sqrt{7225}}{2} ]

[ x = \frac{5 \pm 85}{2} ]

คำตอบที่เป็นไปได้คือ:

[ x = \frac{90}{2} = 45 \quad \text{หรือ} \quad x = \frac{-80}{2} = -40 ]

เนื่องจากความเร็วไม่สามารถเป็นลบได้ ความเร็วปกติของรถไฟคือ 45 กิโลเมตรต่อชั่วโมง

ดังนั้นคำตอบที่ถูกต้องคือ 45 กิโลเมตรต่อชั่วโมง ซึ่งตรงกับตัวเลือก B

{"correct_answer_key":"b"}

เราสามารถแก้โจทย์ปัญหานี้โดยการตั้งสมการความสัมพันธ์ระหว่างเวลาและความเร็ว:

ข้อมูลที่ให้มา:

1. ระยะทาง = 90 กิโลเมตร
2. ถ้ารถไฟแล่นช้ากว่าปกติ 5 กิโลเมตรต่อชั่วโมง จะใช้เวลามากกว่าปกติ 15 นาที (หรือ 0.25 ชั่วโมง)

สมมติให้:

• ความเร็วปกติของรถไฟ = $ v $ กิโลเมตรต่อชั่วโมง

เวลาที่ใช้ในกรณีปกติ:

เวลาที่ใช้ในกรณีปกติคือ: $$ t_{\text{ปกติ}} = \frac{90}{v} , \text{ชั่วโมง} $$

เวลาที่ใช้ในกรณีช้ากว่าปกติ:

หากความเร็วลดลง 5 กิโลเมตรต่อชั่วโมง (คือ $ v - 5 $): $$ t_{\text{ช้า}} = \frac{90}{v - 5} , \text{ชั่วโมง} $$

ความสัมพันธ์ของเวลาที่เพิ่มขึ้น:

โจทย์บอกว่าเวลาที่ใช้ในกรณีช้ากว่าปกติจะมากกว่าปกติ 15 นาที (หรือ 0.25 ชั่วโมง): $$ t_{\text{ช้า}} - t_{\text{ปกติ}} = 0.25 $$

แทนค่า $ t_{\text{ช้า}} $ และ $ t_{\text{ปกติ}} $: $$ \frac{90}{v - 5} - \frac{90}{v} = 0.25 $$

แก้สมการ:

1. หาค่าร่วมของเศษส่วน: $$ \frac{90v - 90(v - 5)}{v(v - 5)} = 0.25 $$

2. จัดรูป: $$ \frac{90v - 90v + 450}{v(v - 5)} = 0.25 $$

$$ \frac{450}{v(v - 5)} = 0.25 $$

3. คูณไขว้: $$ 450 = 0.25 \cdot v(v - 5) $$

$$ 450 = 0.25v^2 - 1.25v $$

4. คูณตลอดด้วย 4 เพื่อกำจัดทศนิยม: $$ 1800 = v^2 - 5v $$

5. จัดสมการให้เป็นรูปมาตรฐาน: $$ v^2 - 5v - 1800 = 0 $$

แก้สมการกำลังสอง:

ใช้สูตรกำลังสอง ($ ax^2 + bx + c = 0 $): $$ v = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} $$

ในกรณีนี้:

• $ a = 1 $, $ b = -5 $, $ c = -1800 $

$$ v = \frac{-(-5) \pm \sqrt{(-5)^2 - 4(1)(-1800)}}{2(1)} $$

$$ v = \frac{5 \pm \sqrt{25 + 7200}}{2} $$

$$ v = \frac{5 \pm \sqrt{7225}}{2} $$

$$ v = \frac{5 \pm 85}{2} $$

หาค่า $ v $:

1. $ v = \frac{5 + 85}{2} = \frac{90}{2} = 45 $
2. $ v = \frac{5 - 85}{2} = \frac{-80}{2} = -40 $ (ไม่สมเหตุสมผล)

ดังนั้น $ v = 45 $ กิโลเมตรต่อชั่วโมง

คำตอบ:

ความเร็วปกติของรถไฟคือ 45 กิโลเมตรต่อชั่วโมง ซึ่งตรงกับตัวเลือก B

{"correct_answer_key":"b"}

รถไฟมีความเร็วปกติ $ v $ กม./ชม. เมื่อช้าลง 5 กม./ชม. เวลาที่ใช้เพิ่มขึ้น 15 นาที (0.25 ชม.) สำหรับระยะทาง 90 กม.
ตั้งสมการ:
$$ \frac{90}{v - 5} - \frac{90}{v} = 0.25 $$
แก้สมการได้ $ v = 45 $ กม./ชม. (ตรวจสอบค่าที่ได้: เวลาปกติ $ 90/45 = 2 $ ชม., เวลาช้า $ 90/40 = 2.25 $ ชม. ต่างกัน 0.25 ชม.)

{"correct_answer_key":"b"}

{"correct_answer_key":"b"}

{"correct_answer_key":"b"}

Let the normal speed of the train be ( v ) km/h.

• Normal time to travel 90 km: ( \frac{90}{v} ) hours.
• Reduced speed: ( v - 5 ) km/h.
• Time at reduced speed: ( \frac{90}{v - 5} ) hours.
• The difference in time is 15 minutes = ( \frac{1}{4} ) hour.

Set up the equation:
[ \frac{90}{v - 5} - \frac{90}{v} = \frac{1}{4} ]

Multiply both sides by ( 4v(v - 5) ) to eliminate denominators:

[ 4 \cdot 90 v - 4 \cdot 90 (v - 5) = v(v - 5) ]

Simplify left side:
[ 360v - 360(v - 5) = v^2 - 5v
\Rightarrow 360v - 360v + 1800 = v^2 - 5v
\Rightarrow 1800 = v^2 - 5v ]

Rewriting:
[ v^2 - 5v - 1800 = 0 ]

Solve the quadratic equation:
Discriminant: ( 25 + 7200 = 7225 ), and ( \sqrt{7225} = 85 )

[ v = \frac{5 \pm 85}{2} \Rightarrow v = \frac{90}{2} = 45 \quad \text{(positive root only)} ]

So, the normal speed is 45 km/h, which corresponds to option b.

{"correct_answer_key":"b"}

ให้ความเร็วปกติของรถไฟคือ $ v $ กิโลเมตรต่อชั่วโมง
ระยะทาง = 90 กม.
เวลาปกติ = $ \frac{90}{v} $ ชั่วโมง

เมื่อช้าลง 5 กม./ชม. ความเร็วใหม่ = $ v - 5 $
เวลาใหม่ = $ \frac{90}{v - 5} $ ชั่วโมง

ตามโจทย์ เวลาใหม่มากกว่าปกติ 15 นาที = $ \frac{1}{4} $ ชั่วโมง

ดังนั้น:
$$ \frac{90}{v - 5} - \frac{90}{v} = \frac{1}{4} $$

หาค่าร่วม:
$$ 90 \left( \frac{1}{v - 5} - \frac{1}{v} \right) = \frac{1}{4} $$
$$ 90 \left( \frac{v - (v - 5)}{v(v - 5)} \right) = \frac{1}{4} $$
$$ 90 \left( \frac{5}{v(v - 5)} \right) = \frac{1}{4} $$
$$ \frac{450}{v(v - 5)} = \frac{1}{4} $$

คูณไขว้:
$$ 450 \times 4 = v(v - 5) $$
$$ 1800 = v^2 - 5v $$
$$ v^2 - 5v - 1800 = 0 $$

แก้สมการกำลังสอง:
ใช้สูตรกำลังสอง:
$$ v = \frac{5 \pm \sqrt{25 + 7200}}{2} = \frac{5 \pm \sqrt{7225}}{2} $$
$$ \sqrt{7225} = 85 \Rightarrow v = \frac{5 + 85}{2} = 45 \quad (\text{ตัดค่าลบทิ้ง}) $$

ดังนั้น ความเร็วปกติคือ 45 กม./ชม.

{"correct_answer_key":"b"}

{"correct_answer_key":"b"}

Let $v$ be the normal speed of the train in km/h. The normal time taken to travel 90 km is $\frac{90}{v}$ hours. When the speed is reduced by 5 km/h, the new speed is $v - 5$, and the time taken becomes $\frac{90}{v - 5}$ hours. The problem states that the slower trip takes 15 minutes longer than normal. Since 15 minutes is $\frac{1}{4}$ of an hour, we can set up the equation: $$ \frac{90}{v - 5} - \frac{90}{v} = \frac{1}{4} $$ Multiplying through by $4v(v - 5)$ to clear denominators: $$ 360v - 360(v - 5) = v(v - 5) $$ $$ 360v - 360v + 1800 = v^2 - 5v $$ $$ v^2 - 5v - 1800 = 0 $$ Factoring the quadratic equation: $$ (v - 45)(v + 40) = 0 $$ Since speed cannot be negative, $v = 45$ km/h. This corresponds to option b.

{"correct_answer_key":"b"}

ให้ความเร็วปกติของรถไฟเป็น $v$ กิโลเมตรต่อชั่วโมง จากโจทย์ ระยะทางเท่ากับ 90 กิโลเมตร เวลาปกติที่ใช้คือ $t_1 = \frac{90}{v}$ ชั่วโมง เมื่อความเร็วลดลง 5 กม./ชม. ความเร็วใหม่จะเป็น $v-5$ กม./ชม. เวลาใหม่ที่ใช้คือ $t_2 = \frac{90}{v-5}$ ชั่วโมง โจทย์ระบุว่าเวลาใหม่มากกว่าเวลาปกติ 15 นาที ซึ่งเท่ากับ $\frac{15}{60} = \frac{1}{4}$ ชั่วโมง

ดังนั้นสมการคือ: $$ \frac{90}{v-5} - \frac{90}{v} = \frac{1}{4} $$

คูณตลอดด้วย $4v(v-5)$ เพื่อกำจัดเศษส่วน: $$ 360v - 360(v-5) = v(v-5) $$ $$ 360v - 360v + 1800 = v^2 - 5v $$ $$ v^2 - 5v - 1800 = 0 $$

แยกตัวประกอบสมการกำลังสอง: หาจำนวนสองจำนวนที่คูณกันได้ -1800 และบวกกันได้ -5 คือ -45 และ 40 $$ (v - 45)(v + 40) = 0 $$

จะได้ $v = 45$ หรือ $v = -40$ เนื่องจากความเร็วต้องเป็นบวก ดังนั้นความเร็วปกติคือ 45 กม./ชม.

ตรวจสอบคำตอบ:

• ความเร็วปกติ 45 กม./ชม. ใช้เวลา $90/45 = 2$ ชั่วโมง
• ความเร็วช้าลง 5 เป็น 40 กม./ชม. ใช้เวลา $90/40 = 2.25$ ชั่วโมง (2 ชั่วโมง 15 นาที)
• ผลต่างเวลาคือ 15 นาที ตรงตามโจทย์

ดังนั้นคำตอบที่ถูกต้องคือข้อ b

{"correct_answer_key":"b"}

The problem involves finding the train's normal speed. Let ( v ) be the normal speed (in km/h). Under normal conditions, the time to travel 90 km is ( \frac{90}{v} ) hours. When slowed by 5 km/h, the time becomes ( \frac{90}{v-5} ) hours. The difference in time is 15 minutes (0.25 hours), leading to the equation:

[ \frac{90}{v-5} - \frac{90}{v} = 0.25 ]

Solving this, we find ( v = 45 ) km/h. Verification confirms this: normal time is 2 hours, slower time is 2.25 hours (difference of 0.25 hours). Thus, the correct answer is b.

{"correct_answer_key":"b"}

{"correct_answer_key":"b"}

ให้ความเร็วปกติของรถไฟเป็น x กิโลเมตรต่อชั่วโมง

เวลาที่ใช้ปกติในการเดินทาง 90 กิโลเมตร = 90/x ชั่วโมง

ความเร็วของรถไฟเมื่อแล่นช้ากว่าปกติ 5 กิโลเมตรต่อชั่วโมง = (x - 5) กิโลเมตรต่อชั่วโมง

เวลาที่ใช้เมื่อแล่นช้ากว่าปกติ = 90/(x - 5) ชั่วโมง

เวลาที่ใช้เมื่อแล่นช้ากว่าปกติมากกว่าเวลาที่ใช้ปกติ = 15 นาที = 15/60 = 0.25 ชั่วโมง

ดังนั้น 90/(x - 5) - 90/x = 0.25

เราสามารถแก้สมการนี้ได้โดยการหาค่า x

90x - 90(x - 5) = 0.25x(x - 5)

90x - 90x + 450 = 0.25x^2 - 1.25x

450 = 0.25x^2 - 1.25x

0.25x^2 - 1.25x - 450 = 0

x^2 - 5x - 1800 = 0

(x - 45)(x + 40) = 0

x = 45 หรือ x = -40

เนื่องจากความเร็วไม่สามารถเป็นลบได้ ดังนั้นความเร็วปกติของรถไฟคือ 45 กิโลเมตรต่อชั่วโมง

{"correct_answer_key":"b"}

{"correct_answer_key":"b"}

Let the normal speed of the train be 'v' km/h. The time taken at normal speed for 90 km is 90/v hours. The speed when it is 5 km/h slower is (v-5) km/h. The time taken at slower speed for 90 km is 90/(v-5) hours. The difference in time is 15 minutes, which is 15/60 = 1/4 hours. So, 90/(v-5) - 90/v = 1/4 Multiplying by 4v(v-5), we get: 360v - 360(v-5) = v(v-5) 360v - 360v + 1800 = v^2 - 5v v^2 - 5v - 1800 = 0 We can use the quadratic formula to solve for v: v = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a v = (5 ± √(25 + 4*1800)) / 2 v = (5 ± √(25 + 7200)) / 2 v = (5 ± √7225) / 2 v = (5 ± 85) / 2 v1 = (5 + 85) / 2 = 90 / 2 = 45 v2 = (5 - 85) / 2 = -80 / 2 = -40 Since speed cannot be negative, v = 45 km/h.

{"correct_answer_key":"b"}