With answers from 41 AI models.
รถไฟขบวนหนึ่งหากแล่นช้ากว่าปกติ 5 กิโลเมตรต่อชั่วโมง ในระยะทาง 90 กิโลเมตร จะใช้เวลามากกว่าปกติ 15 นาที อยากทราบว่าความเร็วปกติของรถไฟเป็นเท่าใดในหน่วยกิโลเมตรต่อชั่วโมง:
Using dataset from ThaiExam Dataset.
มาแก้โจทย์ทีละขั้น:
ดังนั้น ความเร็วปกติของรถไฟคือ 45 กิโลเมตรต่อชั่วโมง
{"correct_answer_key":"b"}
Let me solve this step by step:
Let's say the normal speed of the train is v km/h.
So we have: 90/(v-5) - 90/v = 0.25
Solving: 90v/(v(v-5)) - 90(v-5)/(v(v-5)) = 0.25 (90v - 90v + 450)/(v(v-5)) = 0.25 450/(v(v-5)) = 0.25 450 = 0.25v(v-5) 450 = 0.25(v² - 5v) 1800 = v² - 5v v² - 5v - 1800 = 0
Using the quadratic formula: v = (5 + √(25 + 7200))/2 v = (5 + √7225)/2 v = (5 + 85)/2 v = 45
Therefore, the normal speed of the train is 45 km/h.
{"correct_answer_key":"b"}
Let's analyze this problem in Thai. The question is about a train:
"รถไฟขบวนหนึ่งหากแล่นช้ากว่าปกติ 5 กิโลเมตรต่อชั่วโมง ในระยะทาง 90 กิโลเมตร จะใช้เวลามากกว่าปกติ 15 นาที อยากทราบว่าความเร็วปกติของรถไฟเป็นเท่าใดในหน่วยกิโลเมตรต่อชั่วโมง:"
Let me translate this to English: "A train traveling 5 kilometers per hour slower than normal over a distance of 90 kilometers takes 15 minutes (0.25 hours) longer than usual. What is the normal speed of the train in kilometers per hour?"
Let's denote the normal speed of the train as v km/h. The reduced speed is (v - 5) km/h.
The normal time taken to travel 90 km would be: t₁ = 90/v hours
The time taken with reduced speed would be: t₂ = 90/(v-5) hours
We're told that t₂ - t₁ = 0.25 hours (15 minutes)
So we have: 90/(v-5) - 90/v = 0.25
Let's solve this: 90/(v-5) - 90/v = 0.25 90v - 90(v-5) = 0.25v(v-5) 90v - 90v + 450 = 0.25v(v-5) 450 = 0.25v(v-5) 450 = 0.25v² - 1.25v 1800 = v² - 5v v² - 5v - 1800 = 0
Now I'll use the quadratic formula to solve for v: v = (5 ± √(25 + 4*1800))/2 v = (5 ± √(25 + 7200))/2 v = (5 ± √7225)/2 v = (5 ± 85)/2
This gives us v = 45 or v = -40.
Since speed can't be negative, the normal speed of the train is 45 km/h.
Let me double-check my work:
So the answer is 45 km/h, which corresponds to option b.
Actually, let me verify this a different way to be sure.
Let's denote:
We know that:
So: d/(v-5) - d/v = 0.25 d[v - (v-5)]/(v(v-5)) = 0.25 5d/(v(v-5)) = 0.25 5d = 0.25v(v-5) 5d = 0.25(v²-5v) 5(90) = 0.25(v²-5v) 450 = 0.25v² - 1.25v 1800 = v² - 5v v² - 5v - 1800 = 0
Using the quadratic formula: v = (5 ± √(25 + 7200))/2 v = (5 ± √7225)/2 v = (5 ± 85)/2
So v = 45 or v = -40.
Since speed must be positive, v = 45 km/h.
Let's verify:
So the correct answer is 45 km/h, which is option b.
การวิเคราะห์: ผมจะใช้ความสัมพันธ์ระหว่างเวลาและความเร็ว โดยกำหนดให้ v คือความเร็วปกติ
เวลาปกติ = 90/v ชั่วโมง เวลาเมื่อช้าลง = 90/(v-5) ชั่วโมง ผลต่างของเวลา = 15 นาที = 0.25 ชั่วโมง
จัดสมการได้: 90/(v-5) - 90/v = 0.25 แก้สมการ: 5×90 = 0.25v(v-5) 450 = 0.25v² - 1.25v 1800 = v² - 5v v² - 5v - 1800 = 0
ใช้สูตรหาคำตอบสมการกำลังสอง: v = 45 หรือ v = -40 เนื่องจากความเร็วต้องเป็นบวก ดังนั้นความเร็วปกติคือ 45 กม./ชม.
{"correct_answer_key":"b"}
Let's denote the normal speed of the train as ( v ) km/h. The time it normally takes to travel 90 km is ( \frac{90}{v} ) hours.
If the train is slower by 5 km/h, its speed becomes ( v - 5 ) km/h. The time it takes to travel 90 km at this reduced speed is ( \frac{90}{v - 5} ) hours.
According to the problem, the slower trip takes 15 minutes (or 0.25 hours) longer than the normal trip. Therefore, we can set up the equation:
[ \frac{90}{v - 5} - \frac{90}{v} = 0.25 ]
To solve this equation, find a common denominator and simplify:
[ \frac{90v - 90(v - 5)}{v(v - 5)} = 0.25 ]
[ \frac{90v - 90v + 450}{v(v - 5)} = 0.25 ]
[ \frac{450}{v(v - 5)} = 0.25 ]
Multiply both sides by ( v(v - 5) ):
[ 450 = 0.25v(v - 5) ]
[ 450 = 0.25v^2 - 1.25v ]
Multiply the entire equation by 4 to eliminate the decimal:
[ 1800 = v^2 - 5v ]
Rearrange into standard quadratic form:
[ v^2 - 5v - 1800 = 0 ]
Solve the quadratic equation using the quadratic formula ( v = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} ), where ( a = 1 ), ( b = -5 ), and ( c = -1800 ):
[ v = \frac{5 \pm \sqrt{25 + 7200}}{2} ]
[ v = \frac{5 \pm \sqrt{7225}}{2} ]
[ v = \frac{5 \pm 85}{2} ]
This gives two solutions:
[ v = \frac{90}{2} = 45 \quad \text{and} \quad v = \frac{-80}{2} = -40 ]
Since speed cannot be negative, the normal speed of the train is 45 km/h.
{"correct_answer_key":"b"}
We need to find the normal speed ((v)) of the train in km/h.
Given:
[ \frac{90}{v} + 0.25 = \frac{90}{v - 5} ]
Multiply through by (v(v - 5)) to eliminate denominators: [ 90(v - 5) + 0.25v(v - 5) = 90v ]
Expand and simplify: [ 90v - 450 + 0.25v^2 - 1.25v = 90v ] [ 0.25v^2 - 1.25v - 450 = 0 ]
Multiply by 4 to eliminate decimals: [ v^2 - 5v - 1800 = 0 ]
Using the quadratic formula: [ v = \frac{5 \pm \sqrt{25 + 7200}}{2} = \frac{5 \pm \sqrt{7225}}{2} = \frac{5 \pm 85}{2} ]
Only the positive solution makes sense: [ v = \frac{5 + 85}{2} = 45 \text{ km/h} ]
The normal speed of the train is 45 km/h, which corresponds to option B.
{"correct_answer_key":"b"}
Okay, let's see. The problem is about a train that, if it goes 5 km/h slower than usual over a 90 km distance, it takes 15 minutes longer than normal. We need to find the train's normal speed. Hmm, I need to set up some equations here.
First, let's denote the normal speed as v km/h. So, when the train is going slower, its speed is v - 5 km/h. The distance is the same in both cases, 90 km. Time is distance divided by speed, right? So normally, the time taken would be 90 / v hours. When it's slower, the time is 90 / (v - 5) hours. The difference between these two times is 15 minutes, which is 0.25 hours. So the equation should be:
90/(v - 5) - 90/v = 0.25
Now, I need to solve this equation for v. Let's multiply both sides by v(v - 5) to eliminate the denominators:
90v - 90(v - 5) = 0.25v(v - 5)
Simplify the left side: 90v -90v + 450 = 0.25v² -1.25v
So that becomes 450 = 0.25v² -1.25v
Multiply all terms by 4 to eliminate the decimal:
1800 = v² -5v
Rearranging gives v² -5v -1800 = 0
Now, solving this quadratic equation. Let's use the quadratic formula: v = [5 ± sqrt(25 + 7200)] / 2
sqrt(7225) is 85. So v = (5 +85)/2 = 90/2 =45 or (5-85)/2 which is negative, so we discard that. So v=45 km/h. Checking the options, option b is 45. That should be the answer.
{"correct_answer_key":"b"}
The question is in Thai and asks: "A train, if it runs 5 km/h slower than usual, will take 15 minutes (1/4 hour) longer to travel a distance of 90 km. What is the normal speed of the train in km/h?"
Let 'v' be the normal speed in km/h. Normal time = 90/v hours Slower speed = (v - 5) km/h Slower time = 90/(v-5) hours
The slower time is 1/4 hour more than the normal time:
90/(v-5) = 90/v + 1/4
Multiplying by 4v(v-5) to clear the denominators:
360v = 360(v-5) + v(v-5) 360v = 360v - 1800 + v^2 - 5v v^2 - 5v - 1800 = 0
We can solve this quadratic equation by factoring: (v - 45)(v + 40) = 0
The possible solutions are v = 45 and v = -40. Since speed cannot be negative, the normal speed is 45 km/h. This corresponds to option 'b'.
{"correct_answer_key": "b"}
Let $v$ be the normal speed of the train in km/h. The time taken at normal speed is $t_1 = \frac{90}{v}$. If the train travels 5 km/h slower, its speed is $v-5$ km/h, and the time taken is $t_2 = \frac{90}{v-5}$. The problem states that $t_2 = t_1 + \frac{15}{60} = t_1 + \frac{1}{4}$.
So, $\frac{90}{v-5} = \frac{90}{v} + \frac{1}{4}$. Multiplying by $4v(v-5)$, we get: $360v = 360(v-5) + v(v-5)$ $360v = 360v - 1800 + v^2 - 5v$ $0 = v^2 - 5v - 1800$ $v^2 - 5v - 1800 = 0$ We are looking for two numbers that multiply to -1800 and add to -5. These numbers are -45 and 40. $(v - 45)(v + 40) = 0$ So, $v = 45$ or $v = -40$. Since speed cannot be negative, $v = 45$ km/h.
{"correct_answer_key":"b"}
This is a word problem involving speed, distance, and time. We can set up equations based on the information given. Let 'v' be the normal speed of the train in km/h.
We can solve this equation for 'v'. Alternatively, we can test the answer choices.
Let's test option B (45 km/h):
Since option B satisfies the conditions, it is the correct answer.
{"correct_answer_key": "b"}
คำถามถามว่า "รถไฟขบวนหนึ่งหากแล่นช้ากว่าปกติ 5 กิโลเมตรต่อชั่วโมง ในระยะทาง 90 กิโลเมตร จะใช้เวลามากกว่าปกติ 15 นาที อยากทราบว่าความเร็วปกติของรถไฟเป็นเท่าใดในหน่วยกิโลเมตรต่อชั่วโมง" ซึ่งแปลว่า "A train, if it travels 5 km/h slower than usual, will take 15 minutes more than usual to travel a distance of 90 km. What is the normal speed of the train in km/h?"
คำอธิบาย:
ให้ความเร็วปกติของรถไฟเป็น v กิโลเมตรต่อชั่วโมง
ระยะทางที่เดินทางคือ 90 กิโลเมตร
เวลาที่ใช้ในการเดินทางด้วยความเร็วปกติคือ เวลาปกติ = ระยะทาง / ความเร็วปกติ = 90 / v ชั่วโมง
หากรถไฟแล่นช้ากว่าปกติ 5 กิโลเมตรต่อชั่วโมง ความเร็วใหม่จะเป็น v - 5 กิโลเมตรต่อชั่วโมง
เวลาที่ใช้ในการเดินทางด้วยความเร็วที่ช้าลงคือ เวลาช้า = ระยะทาง / ความเร็วช้า = 90 / (v - 5) ชั่วโมง
โจทย์บอกว่าเวลาที่ใช้เมื่อแล่นช้ากว่าปกติจะมากกว่าเวลาปกติ 15 นาที ซึ่งเท่ากับ 15/60 = 0.25 ชั่วโมง
ดังนั้น เวลาช้า = เวลาปกติ + 0.25
90 / (v - 5) = 90 / v + 0.25
แก้สมการเพื่อหาค่า v:
90 / (v - 5) - 90 / v = 0.25
[90v - 90(v - 5)] / [v(v - 5)] = 0.25
[90v - 90v + 450] / [v^2 - 5v] = 0.25
450 / [v^2 - 5v] = 0.25
450 = 0.25 * (v^2 - 5v)
450 / 0.25 = v^2 - 5v
1800 = v^2 - 5v
v^2 - 5v - 1800 = 0
ใช้สูตร quadratic เพื่อหาค่า v:
v = [-b ± sqrt(b^2 - 4ac)] / 2a
ในที่นี้ a=1, b=-5, c=-1800
v = [5 ± sqrt((-5)^2 - 4 * 1 * -1800)] / 2 * 1
v = [5 ± sqrt(25 + 7200)] / 2
v = [5 ± sqrt(7225)] / 2
v = [5 ± 85] / 2
มีสองคำตอบที่เป็นไปได้:
v1 = (5 + 85) / 2 = 90 / 2 = 45
v2 = (5 - 85) / 2 = -80 / 2 = -40
เนื่องจากความเร็วต้องเป็นค่าบวก ดังนั้น v = 45 กม./ชม.
ตรวจสอบคำตอบ: เวลาปกติ = 90 กม. / 45 กม./ชม. = 2 ชั่วโมง ความเร็วช้า = 45 - 5 = 40 กม./ชม. เวลาช้า = 90 กม. / 40 กม./ชม. = 2.25 ชั่วโมง เวลาที่ต่างกัน = 2.25 - 2 = 0.25 ชั่วโมง = 15 นาที ซึ่งตรงกับโจทย์
ดังนั้นคำตอบที่ถูกต้องคือ 45 กม./ชม. ซึ่งตรงกับตัวเลือก b.
{"correct_answer_key":"b"}
ให้ความเร็วปกติของรถไฟเป็น v กิโลเมตรต่อชั่วโมง และเวลาปกติที่ใช้เป็น t ชั่วโมง ระยะทางคือ 90 กิโลเมตร เราได้สมการแรกคือ 90 = vt. เมื่อความเร็วลดลง 5 กิโลเมตรต่อชั่วโมง (v-5) เวลาจะเพิ่มขึ้น 15 นาที หรือ 1/4 ชั่วโมง (t+1/4) เราได้สมการที่สองคือ 90 = (v-5)(t+1/4) แทนค่า t = 90/v ในสมการที่สอง จะได้ 90 = (v-5)(90/v + 1/4) ซึ่งเมื่อกระจายและจัดรูปจะได้สมการกำลังสอง v² - 5v - 1800 = 0. แก้สมการกำลังสองจะได้ (v-45)(v+40) = 0 ดังนั้น v = 45 หรือ v = -40. เนื่องจากความเร็วต้องเป็นบวก ความเร็วปกติของรถไฟคือ 45 กิโลเมตรต่อชั่วโมง.
{"correct_answer_key":"b"}
The problem asks for the normal speed of a train. We are given that if the train travels 5 km/h slower than normal over a distance of 90 km, it takes 15 minutes (or 0.25 hours) longer than usual.
Let the normal speed be $v$ km/h and the normal time taken be $t$ hours. The distance is 90 km. So, $90 = v \times t$. (Equation 1)
When the speed is $v-5$ km/h, the time taken is $t + 0.25$ hours. So, $90 = (v-5) \times (t + 0.25)$. (Equation 2)
From Equation 1, we can express $t$ as $t = \frac{90}{v}$. Substitute this into Equation 2: $90 = (v-5) \times (\frac{90}{v} + 0.25)$ $90 = v \times (\frac{90}{v}) + v \times 0.25 - 5 \times (\frac{90}{v}) - 5 \times 0.25$ $90 = 90 + 0.25v - \frac{450}{v} - 1.25$ $0 = 0.25v - \frac{450}{v} - 1.25$ Multiply the entire equation by $v$ to eliminate the fraction: $0 = 0.25v^2 - 450 - 1.25v$ Rearrange the terms into a quadratic equation: $0.25v^2 - 1.25v - 450 = 0$ Multiply by 4 to get integer coefficients: $v^2 - 5v - 1800 = 0$
We can solve this quadratic equation for $v$ using the quadratic formula: $v = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ Here, $a=1$, $b=-5$, $c=-1800$. $v = \frac{-(-5) \pm \sqrt{(-5)^2 - 4(1)(-1800)}}{2(1)}$ $v = \frac{5 \pm \sqrt{25 + 7200}}{2}$ $v = \frac{5 \pm \sqrt{7225}}{2}$ To find the square root of 7225, we can estimate. $80^2 = 6400$ and $90^2 = 8100$. The number ends in 5, so the square root must end in 5. Let's try 85. $85 \times 85 = (80+5)(80+5) = 6400 + 400 + 400 + 25 = 7225$. So, $\sqrt{7225} = 85$.
$v = \frac{5 \pm 85}{2}$ We have two possible solutions: $v_1 = \frac{5 + 85}{2} = \frac{90}{2} = 45$ $v_2 = \frac{5 - 85}{2} = \frac{-80}{2} = -40$
Since speed cannot be negative, the normal speed of the train is 45 km/h.
Let's check the answer: Normal speed = 45 km/h. Normal time = 90 km / 45 km/h = 2 hours. Slower speed = 45 - 5 = 40 km/h. Time taken at slower speed = 90 km / 40 km/h = 2.25 hours. The difference in time is 2.25 hours - 2 hours = 0.25 hours, which is 15 minutes. This matches the problem statement.
The normal speed of the train is 45 km/h, which corresponds to option B.
{"correct_answer_key":"b"}
Let v be the normal speed in km/h and t be the normal time in hours. The distance is 90 km. Normal condition: 90 = v * t => t = 90/v Slower condition: Speed = v - 5 km/h. Time = t + 15/60 hours = t + 1/4 hours. Distance is still 90 km: 90 = (v - 5) * (t + 1/4) Substitute t = 90/v into the second equation: 90 = (v - 5) * (90/v + 1/4) 90 = v*(90/v) + v*(1/4) - 5*(90/v) - 5*(1/4) 90 = 90 + v/4 - 450/v - 5/4 0 = v/4 - 450/v - 5/4 Multiply by 4v to clear denominators: 0 = v^2 - 1800 - 5v v^2 - 5v - 1800 = 0 Factor the quadratic equation: (v - 45)(v + 40) = 0 The possible values for v are 45 and -40. Since speed must be positive, the normal speed v = 45 km/h. This corresponds to option B.
{"correct_answer_key":"b"}
This question is in Thai. Here's the translation and explanation:
"A train, if traveling 5 kilometers per hour slower than usual, takes 15 minutes longer to cover a distance of 90 kilometers. What is the normal speed of the train in kilometers per hour?"
Let 'x' be the normal speed. Then the slower speed is 'x-5'.
Time = Distance / Speed
Normal time = 90/x Slower time = 90/(x-5)
The slower time is 15 minutes (0.25 hours) longer. So:
90/(x-5) = 90/x + 0.25
Solving for x:
90/(x-5) - 90/x = 0.25 90x - 90(x-5) = 0.25x(x-5) 450 = 0.25x^2 - 1.25x 0 = 0.25x^2 - 1.25x - 450 0 = x^2 - 5x - 1800 0 = (x - 45)(x + 40)
Since speed cannot be negative, x = 45.
Therefore, the normal speed of the train is 45 km/h.
{"correct_answer_key":"b"}
อธิบาย:
ให้ความเร็วปกติของรถไฟ = x กม./ชม.
ถ้ารถไฟแล่นช้ากว่าปกติ 5 กม./ชม. จะใช้เวลาเดินทาง 90 กม. มากกว่าปกติ 15 นาที (0.25 ชั่วโมง)
สมการ:
เวลา = ระยะทาง / ความเร็ว
เวลาปกติ = 90/x
เวลาช้ากว่า = 90/(x-5)
เวลาช้ากว่า - เวลาปกติ = 0.25
ดังนั้น
90/(x-5) - 90/x = 0.25
คูณทั้งสองข้างด้วย x(x-5):
90x - 90(x-5) = 0.25x(x-5)
90x - 90x + 450 = 0.25x^2 - 1.25x
450 = 0.25x^2 - 1.25x
0.25x^2 - 1.25x - 450 = 0
คูณทั้งสมการด้วย 4:
x^2 - 5x - 1800 = 0
แก้สมการกำลังสอง:
x = [5 + sqrt(25 + 7200)] / 2
x = [5 + sqrt(7225)] / 2
x = [5 + 85] / 2 = 90/2 = 45
ดังนั้น ความเร็วปกติของรถไฟคือ 45 กม./ชม.
{"correct_answer_key":"b"}
ถ้าให้ความเร็วปกติเป็น ( v ) กิโลเมตรต่อชั่วโมง
ความเร็วช้ากว่าปกติ = ( v - 5 ) กิโลเมตรต่อชั่วโมง
ระยะทาง = 90 กิโลเมตร
เวลาที่ใช้ปกติ = ( \frac{90}{v} ) ชั่วโมง
เวลาที่ใช้ช้า = ( \frac{90}{v-5} ) ชั่วโมง
เวลาที่เพิ่มขึ้น = 15 นาที = 0.25 ชั่วโมง
ตั้งสมการ:
[
\frac{90}{v-5} - \frac{90}{v} = 0.25
]
แก้สมการ:
[
90 \left(\frac{1}{v-5} - \frac{1}{v}\right) = 0.25
]
[
90 \left(\frac{v - (v-5)}{v(v-5)}\right) = 0.25
]
[
90 \left(\frac{5}{v(v-5)}\right) = 0.25
]
[
\frac{450}{v(v-5)} = 0.25
]
[
v(v-5) = \frac{450}{0.25} = 1800
]
[
v^2 - 5v - 1800 = 0
]
แก้สมการกำลังสอง:
[
v = \frac{5 \pm \sqrt{25 + 7200}}{2} = \frac{5 \pm \sqrt{7225}}{2} = \frac{5 \pm 85}{2}
]
ค่าที่เป็นไปได้:
[
v = \frac{5 + 85}{2} = 45 \quad \text{หรือ} \quad v = \frac{5 - 85}{2} = -40 \quad (\text{ปฏิเสธ})
]
ดังนั้น ความเร็วปกติคือ 45 กม./ชม.
{"correct_answer_key":"b"}
จากโจทย์ รถไฟแล่นช้ากว่าปกติ 5 กม./ชม. ในระยะทาง 90 กม. ทำให้ใช้เวลานานขึ้น 15 นาที (หรือ 0.25 ชั่วโมง) เราสามารถตั้งสมการเพื่อหา ความเร็วปกติของรถไฟได้
สมมติความเร็วปกติเป็น V กม./ชม.
จากข้อมูล: (90 / (V - 5)) - (90 / V) = 0.25
แก้สมการ: (90V - 90(V - 5)) / (V(V - 5)) = 0.25 (90V - 90V + 450) / (V^2 - 5V) = 0.25 450 / (V^2 - 5V) = 0.25
คูณทั้งสองข้างด้วย (V^2 - 5V): 450 = 0.25 * (V^2 - 5V) 450 = (V^2 - 5V) / 4 นำ 4 ไปคูณทั้งสองข้าง: 1800 = V^2 - 5V
จัดเป็นสมการกำลังสอง: V^2 - 5V - 1800 = 0
แก้สมการ: ใช้สูตรกำลังสอง V = [-b ± sqrt(b^2 - 4ac)] / 2a ที่ a=1, b=-5, c=-1800
V = [5 ± sqrt(25 - 41(-1800))] / 2 V = [5 ± sqrt(25 + 7200)] / 2 V = [5 ± sqrt(7225)] / 2 V = [5 ± 85] / 2
เลือกค่าที่เป็นบวก: V = (5 + 85) / 2 = 90 / 2 = 45
คำตอบคือ ความเร็วปกติของรถไฟคือ 45 กม./ชม.
{"correct_answer_key":"b"}
รถไฟแล่นช้ากว่าปกติ 5 กม./ชม. ทำให้ใช้เวลามากขึ้น 15 นาที (หรือ 1/4 ชั่วโมง) ในระยะทาง 90 กม.
ให้ความเร็วปกติเป็น ( x ) กม./ชม. ดังนั้น ความเร็วเมื่อช้าลงคือ ( x - 5 ) กม./ชม.
เราสามารถตั้งสมการได้ดังนี้:
[ \frac{90}{x - 5} - \frac{90}{x} = \frac{1}{4} ]
แก้สมการ:
คูณทั้งสองข้างด้วย (4x(x - 5)):
[ 360x - 360(x - 5) = x(x - 5) ]
กระจายวงเล็บ:
[ 360x - 360x + 1800 = x^2 - 5x ]
จัดรูปสมการใหม่:
[ x^2 - 5x - 1800 = 0 ]
แยกตัวประกอบสมการนี้:
[ (x - 45)(x + 40) = 0 ]
ดังนั้น ( x = 45 ) หรือ ( x = -40 ) (ตัดค่าลบออก เพราะความเร็วติดลบไม่ได้)
ดังนั้น ความเร็วปกติของรถไฟคือ 45 กม./ชม. ซึ่งตรงกับตัวเลือก b.
{"correct_answer_key":"b"}
ในการแก้ปัญหานี้ เราต้องหาความเร็วปกติของรถไฟ โดยใช้ข้อมูลที่ว่าเมื่อรถไฟแล่นช้ากว่าปกติ 5 กิโลเมตรต่อชั่วโมง จะใช้เวลามากกว่าปกติ 15 นาทีในการเดินทาง 90 กิโลเมตร
ให้ ( v ) เป็นความเร็วปกติของรถไฟในหน่วยกิโลเมตรต่อชั่วโมง
เวลาที่ใช้เมื่อแล่นด้วยความเร็วปกติคือ ( \frac{90}{v} ) ชั่วโมง
เวลาที่ใช้เมื่อแล่นช้ากว่าปกติ 5 กิโลเมตรต่อชั่วโมงคือ ( \frac{90}{v-5} ) ชั่วโมง
จากข้อมูลที่ให้มา: [ \frac{90}{v-5} = \frac{90}{v} + \frac{15}{60} ]
แก้สมการนี้เพื่อหาค่า ( v ): [ \frac{90}{v-5} - \frac{90}{v} = \frac{1}{4} ]
คูณทั้งสองข้างด้วย ( v(v-5) ) เพื่อกำจัดตัวส่วน: [ 90v - 90(v-5) = \frac{1}{4}v(v-5) ]
แก้สมการ: [ 450 = \frac{1}{4}v^2 - \frac{5}{4}v ]
คูณทั้งสองข้างด้วย 4: [ 1800 = v^2 - 5v ]
จัดรูปสมการ: [ v^2 - 5v - 1800 = 0 ]
ใช้สูตรการแก้สมการกำลังสอง: [ v = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} ]
โดยที่ ( a = 1 ), ( b = -5 ), ( c = -1800 ): [ v = \frac{5 \pm \sqrt{25 + 7200}}{2} ] [ v = \frac{5 \pm \sqrt{7225}}{2} ] [ v = \frac{5 \pm 85}{2} ]
ดังนั้น ( v = 45 ) หรือ ( v = -40 ) (ซึ่งไม่สมเหตุสมผล)
ดังนั้น ความเร็วปกติของรถไฟคือ 45 กิโลเมตรต่อชั่วโมง ซึ่งตรงกับตัวเลือก B
{"correct_answer_key":"b"}
เพื่อหาความเร็วปกติของรถไฟ เราสามารถใช้สูตรการคำนวณเวลาในการเดินทาง โดยใช้ความเร็วและระยะทาง:
[ \frac{90}{v - 5} - \frac{90}{v} = 0.25 ]
{"correct_answer_key":"c"}
Let’s solve this step by step. The problem states that a train, when traveling 5 km/h slower than its normal speed, takes 15 minutes more to cover a distance of 90 km. We need to find the normal speed of the train in km/h.
Solving this:
Thus, the normal speed of the train is 45 km/h, which corresponds to option B.
{"correct_answer_key":"b"}
First, the user has provided another multiple-choice question in JSON format. I need to follow the same pattern as before: provide a brief explanation, then respond in JSON with the "correct_answer_key".
The question is in Thai: "รถไฟขบวนหนึ่งหากแล่นช้ากกว่าปกติ 5 กิโลเมตรต่อชั่วโมง ในระยะทาง 90 กิโลเมตร จะใช้เวลามากกว่าปกติ 15 นาที อยากทราบว่าความเร็วปกติของรถไฟเป็นเท่าใดในหน่วยกิโลเมตรต่อชั่วโมง"
Let me translate that to English to understand it better:
"If a train runs 5 km/h slower than normal, for a distance of 90 km, it will take 15 minutes more than normal. What is the normal speed of the train in km/h?"
Options:
a: 40 km/h
b: 45 km/h
c: 48 km/h
d: 50 km/h
e: 55 km/h
So, let’s denote:
Let ( v ) be the normal speed in km/h.
Then, the slower speed is ( v - 5 ) km/h.
Distance is 90 km.
Time at normal speed: ( t = \frac{90}{v} ) hours.
Time at slower speed: ( t' = \frac{90}{v - 5} ) hours.
The difference in time is 15 minutes, which is 0.25 hours (since 15/60 = 0.25).
So, ( t' = t + 0.25 )
Substitute: ( \frac{90}{v - 5} = \frac{90}{v} + 0.25 )
Now, solve for ( v ).
Equation:
[ \frac{90}{v - 5} = \frac{90}{v} + 0.25 ]
Multiply both sides by ( v(v - 5) ) to eliminate denominators:
[ 90v = 90(v - 5) + 0.25 v (v - 5) ]
Let me do it step by step.
First, subtract ( \frac{90}{v} ) from both sides:
[ \frac{90}{v - 5} - \frac{90}{v} = 0.25 ]
Common denominator is ( v(v - 5) ):
[ \frac{90v - 90(v - 5)}{v(v - 5)} = 0.25 ]
Simplify numerator:
[ 90v - 90v + 450 = 450 ]
Numerator: 90v - 90(v - 5) = 90v - 90v + 450 = 450
Yes:
[ \frac{450}{v(v - 5)} = 0.25 ]
Multiply both sides by ( v(v - 5) ):
[ 450 = 0.25 v (v - 5) ]
Multiply both sides by 4 to eliminate the decimal:
[ 450 \times 4 = v(v - 5) ]
[ 1800 = v^2 - 5v ]
So,
[ v^2 - 5v - 1800 = 0 ]
Solve the quadratic equation:
[ v = \frac{5 \pm \sqrt{25 + 7200}}{2} = \frac{5 \pm \sqrt{7225}}{2} ]
What's the square root of 7225? 85^2 = 7225.
Yes, 85 × 85 = 7225.
So,
[ v = \frac{5 + 85}{2} = \frac{90}{2} = 45 ]
[ v = \frac{5 - 85}{2} = \frac{-80}{2} = -40 ] (not possible, speed can't be negative)
So, normal speed v = 45 km/h.
That matches option b: 45 กม./ชม.
I should double-check if I did everything right.
If v = 45 km/h, slower speed = 40 km/h.
Time at normal: 90 / 45 = 2 hours.
Time at slower: 90 / 40 = 2.25 hours.
Difference: 2.25 - 2 = 0.25 hours = 15 minutes. Perfect, it matches.
So, the correct answer is b.
Now, respond with a brief explanation, then in JSON format.
Brief explanation: The normal speed is 45 km/h. When it runs at 40 km/h, it takes 2.25 hours for 90 km, while at normal speed it takes 2 hours, differing by 15 minutes.
Then, output: {"correct_answer_key":"b"}
The train's normal speed is ( v ) km/h. When it runs 5 km/h slower, its speed is ( v - 5 ) km/h. For a 90 km distance, the time difference is 15 minutes (or 0.25 hours). Using the equation:
[ \frac{90}{v - 5} = \frac{90}{v} + 0.25 ]
Solving this leads to the quadratic equation ( v^2 - 5v - 1800 = 0 ), with the positive solution ( v = 45 ) km/h. Verifying: at 45 km/h, time is 2 hours; at 40 km/h, time is 2.25 hours, a difference of 15 minutes.
{"correct_answer_key":"b"}
เริ่มต้นด้วยการกำหนดความเร็วปกติของรถไฟเป็น x กิโลเมตรต่อชั่วโมง ถ้ารถไฟแล่นช้ากว่าปกติ 5 กิโลเมตรต่อชั่วโมง ความเร็วใหม่จะเป็น (x - 5) กิโลเมตรต่อชั่วโมง
เวลาที่ใช้ในการเดินทาง 90 กิโลเมตรด้วยความเร็วปกติ (x กม./ชม.) คือ: เวลา = ระยะทาง / ความเร็ว = 90 / x ชั่วโมง
เวลาที่ใช้ในการเดินทาง 90 กิโลเมตรด้วยความเร็วที่ช้ากว่าปกติ 5 กิโลเมตรต่อชั่วโมง ((x - 5) กม./ชม.) คือ: เวลา = ระยะทาง / ความเร็ว = 90 / (x - 5) ชั่วโมง
ตามโจทย์ ระบุว่ารถไฟใช้เวลามากกว่าปกติ 15 นาที ซึ่งเท่ากับ 0.25 ชั่วโมง (15 นาที = 15/60 = 0.25 ชั่วโมง) เมื่อใช้ความเร็วที่ช้ากว่าปกติ ดังนั้นเราจึงสามารถตั้งสมการได้ดังนี้: 90 / (x - 5) - 90 / x = 0.25
ในการแก้สมการนี้ เราสามารถเริ่มต้นด้วยการคูณทั้งสองข้างของสมการด้วย x(x - 5) เพื่อกำจัดตัวส่วน: 90x - 90(x - 5) = 0.25x(x - 5)
การขยายและลดความซับซ้อน: 90x - 90x + 450 = 0.25x^2 - 1.25x
การรวมคำที่เหมือนกัน: 450 = 0.25x^2 - 1.25x
การจัดเรียงสมการใหม่เพื่อสร้างสมการกำลังสอง: 0.25x^2 - 1.25x - 450 = 0
การคูณทั้งสองข้างด้วย 4 เพื่อกำจัดทศนิยม: x^2 - 5x - 1800 = 0
การแก้สมการกำลังสองโดยใช้สูตรหรือการแยกตัวประกอบ (ถ้าเป็นไปได้) ในกรณีนี้ การแยกตัวประกอบอาจเป็นเรื่องยาก ดังนั้นเราจึงใช้สูตรกำลังสอง: x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a
โดยที่ a = 1, b = -5, และ c = -1800 x = (5 ± √((-5)^2 - 41(-1800))) / (2*1) x = (5 ± √(25 + 7200)) / 2 x = (5 ± √7225) / 2 x = (5 ± 85) / 2
มีสองคำตอบที่เป็นไปได้: x = (5 + 85) / 2 = 90 / 2 = 45 x = (5 - 85) / 2 = -80 / 2 = -40 (ไม่สมเหตุสมผลในบริบทของความเร็ว)
ดังนั้น ความเร็วปกติของรถไฟคือ 45 กิโลเมตรต่อชั่วโมง
{"correct_answer_key":"b"}
เราสามารถใช้สูตรในการคำนวณได้ โดยสูตรคือ ระยะทาง = ความเร็ว × เวลา
ให้ $v$ เป็นความเร็วปกติของรถไฟ และ $t$ เป็นเวลาที่รถไฟใช้ในการเดินทางด้วยความเร็วปกติ
ดังนั้น $90 = v \times t$ และ $t = \frac{90}{v}$
เมื่อรถไฟแล่นช้ากว่าปกติ 5 กิโลเมตรต่อชั่วโมง จะใช้เวลา $\frac{90}{v-5}$
และเรารู้ว่า $\frac{90}{v-5} = t + \frac{15}{60} = \frac{90}{v} + \frac{1}{4}$
แทนค่า $t = \frac{90}{v}$ ลงในสมการและแก้สมการ:
$\frac{90}{v-5} - \frac{90}{v} = \frac{1}{4}$ $\frac{90v - 90(v-5)}{v(v-5)} = \frac{1}{4}$ $\frac{450}{v(v-5)} = \frac{1}{4}$ $1800 = v(v-5)$ $v^2 - 5v - 1800 = 0$ $(v-45)(v+40) = 0$
$v = 45$ หรือ $v = -40$ แต่ความเร็วไม่สามารถเป็นลบได้ ดังนั้น $v = 45$
ดังนั้น ความเร็วปกติของรถไฟคือ 45 กิโลเมตรต่อชั่วโมง
{"correct_answer_key":"b"}
The problem describes a situation where a train travels at a reduced speed, resulting in it taking 15 more minutes to cover a certain distance compared to its normal speed. We need to find the normal speed of the train.
15 minutes is (\frac{15}{60} = \frac{1}{4}) hours.
The time taken to travel 90 km at normal speed (v) km/h is (\frac{90}{v}) hours. The time taken at the reduced speed is (\frac{90}{v-5}) hours.
The difference in time taken is 15 minutes or (\frac{1}{4}) hours. So, we have: [\frac{90}{v-5} - \frac{90}{v} = \frac{1}{4}]
Multiplying every term by (4v(v-5)) to clear the denominators: [4 \cdot 90v - 4 \cdot 90(v-5) = v(v-5)] [360v - 360(v-5) = v(v-5)] [360v - 360v + 1800 = v^2 - 5v] [1800 = v^2 - 5v] Rearranging gives: [v^2 - 5v - 1800 = 0]
Using the quadratic formula where (a=1), (b=-5), and (c=-1800): [v = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}] [v = \frac{5 \pm \sqrt{(-5)^2 - 4(1)(-1800)}}{2(1)}] [v = \frac{5 \pm \sqrt{25 + 7200}}{2}] [v = \frac{5 \pm \sqrt{7225}}{2}] [v = \frac{5 \pm 85}{2}]
[v = \frac{5 + 85}{2} = \frac{90}{2} = 45] [v = \frac{5 - 85}{2} = -40] Since speed cannot be negative, we discard (v = -40).
The only positive and sensible solution is (v = 45) km/h.
Given that the normal speed of the train must be a positive value, the correct answer is 45 km/h.
The final answer is:
{"correct_answer_key":"c"}
Therefore, the regular speed of the train is 45 km/h, which corresponds to option B.
{"correct_answer_key":"b"}
คำอธิบายโดยย่อ:
โดยกำหนดให้ v คือความเร็วปกติ (กม./ชม.)
• เมื่อรถไฟวิ่งด้วยความเร็ว v จะใช้เวลา 90/v ชั่วโมง
• เมื่อรถไฟวิ่งช้าลง 5 กม./ชม. (เหลือ v−5) จะใช้เวลา 90/(v−5) ชั่วโมง ซึ่งมากกว่าเวลาเดิม 15 นาที (0.25 ชั่วโมง)
สมการ:
(90÷(v−5)) − (90÷v) = 0.25
แก้สมการจะได้ v = 45 กม./ชม.
ตอบในรูป JSON:
{"correct_answer_key":"b"}
เวลาปกติ = 90 km ÷ v
เวลาช้าลง 5 km/h = 90 km ÷ (v – 5)
ส่วนต่างเวลา = 15 min = 0.25 h
90/(v – 5) – 90/v = 0.25
คูณจัดรูป: 90·5 / [v(v – 5)] = 0.25 → 450 = 0.25 v(v – 5)
4·450 = v(v – 5) → 1800 = v² – 5v
v² – 5v – 1800 = 0 → v = 45 km/h
จึงความเร็วปกติคือ 45 กม./ชม. (ข้อ b)
{"correct_answer_key":"b"}
รถไฟใช้เวลาเพิ่ม 15 นาที (0.25 ชั่วโมง) เมื่อวิ่งช้าลง 5 กม./ชม.
ให้ความเร็วปกติ = v กม./ชม.
เวลาใช้วิ่ง 90 กม. ที่ความเร็ว v คือ 90/v
เวลาใช้วิ่ง 90 กม. ที่ความเร็ว v‑5 คือ 90/(v‑5)
ความต่างเวลา 90/(v‑5) − 90/v = 0.25
แก้สมการ
90[1/(v‑5) − 1/v] = 0.25
90·5/[v(v‑5)] = 0.25
450 = 0.25 v(v‑5)
v(v‑5) = 1800
v² − 5v − 1800 = 0
v = 45 (คำตอบบวกเดียวที่เป็นไปได้)
ดังนั้นความเร็วปกติคือ 45 กม./ชม. ตรงกับตัวเลือกข้อ b
{"correct_answer_key":"b"}
เวลาปกติ = 90 km ÷ v
เวลาช้าลง = 90 km ÷ (v − 5)
ต่างกัน 15 นาที = 0.25 ชั่วโมง
90/(v−5) − 90/v = 0.25
90·5 / [v(v−5)] = 0.25
v(v−5) = 1800
v² − 5v − 1800 = 0 → v = 45 km/h
จึงความเร็วปกติของรถไฟคือ 45 กิโลเมตรต่อชั่วโมง (ตัวเลือก b)
{"correct_answer_key":"b"}
Let the normal speed be x km/h. When the train runs 5 km/h slower, its speed is x - 5 km/h. The time taken to cover 90 km at normal speed is 90/x hours, and at the slower speed is 90/(x - 5) hours. According to the problem, the slower speed takes 15 minutes (0.25 hours) more:
90/(x - 5) - 90/x = 0.25
Multiply both sides by x(x - 5):
90x - 90(x - 5) = 0.25 * x(x - 5) 90x - 90x + 450 = 0.25x(x - 5) 450 = 0.25x(x - 5)
Multiply both sides by 4 to clear the decimal:
1800 = x(x - 5)
This simplifies to the quadratic equation:
x² - 5x - 1800 = 0
Using the quadratic formula:
x = [5 ± √(5² + 4×1800)] / 2 x = [5 ± √7225] / 2 x = [5 ± 85] / 2
Discarding the negative solution, we have:
x = (5 + 85) / 2 = 90/2 = 45 km/h
Thus, the normal speed of the train is 45 km/h, which corresponds to option b.
{"correct_answer_key": "b"}
เรากำหนดให้ความเร็วปกติของรถไฟคือ v กม./ชม. เมื่อรถไฟแล่นช้าลง 5 กม./ชม. ความเร็วจะเป็น v–5 กม./ชม. ในระยะทาง 90 กม. เวลาที่ใช้ที่ความเร็วปกติคือ 90/v ชั่วโมง และที่ความเร็วช้าคือ 90/(v–5) ชั่วโมง โดยข้อมูลระบุว่าใช้เวลามากขึ้น 15 นาที หรือ 0.25 ชั่วโมง
ดังนั้นสมการคือ: 90/(v–5) – 90/v = 0.25
คูณทั้งสองข้างด้วย v(v–5): 90v – 90(v–5) = 0.25 · v(v–5) 90v – 90v + 450 = 0.25v(v–5) 450 = 0.25v(v–5)
คูณทั้งสองข้างด้วย 4: 1800 = v(v–5)
หรือเขียนเป็นสมการกำลังสอง: v² – 5v – 1800 = 0
หาค่าตามสูตรคูณ: v = [5 ± √(25+7200)]/2 = [5 ± 85]/2
เราเลือกค่าบวก: v = (5+85)/2 = 90/2 = 45 กม./ชม.
ดังนั้น ความเร็วปกติของรถไฟคือ 45 กม./ชม. ซึ่งตรงกับตัวเลือก b.
{"correct_answer_key": "b"}
เรากำหนดความเร็วปกติของรถไฟเป็น v กม./ชม. เมื่อรถไฟแล่นช้ากว่า 5 กม./ชม. จึงมีความเร็ว v - 5 กม./ชม. เวลาที่ใช้เดินทาง 90 กม. จะเท่ากับ 90/(v) ชั่วโมงในกรณีความเร็วปกติ และ 90/(v - 5) ชั่วโมงในกรณีช้า โดยมีความแตกต่างของเวลา 15 นาที = 0.25 ชั่วโมง
จึงได้สมการ
90/(v - 5) - 90/v = 0.25
คูณทั้งสองข้างด้วย v(v - 5)
90v - 90(v - 5) = 0.25 · v(v - 5)
แก้สมการ
90v - 90v + 450 = 0.25(v^2 - 5v)
450 = 0.25(v^2 - 5v)
1800 = v^2 - 5v
v^2 - 5v - 1800 = 0
ใช้สูตรหาค่าราก
v = [5 ± √(25 + 7200)]/2 = [5 ± 85]/2
โดยเลือกค่า v ที่เป็นบวก
v = (5 + 85)/2 = 45
ดังนั้นความเร็วปกติของรถไฟคือ 45 กม./ชม., ซึ่งตรงกับตัวเลือก b.
{"correct_answer_key":"b"}
อธิบายสั้น ๆ: ให้ v เป็นความเร็วปกติ (กม./ชม.) จะได้
90/(v–5) – 90/v = 0.25
แก้สมการได้ v = 45 กม./ชม. ดังนั้นคำตอบคือข้อ b
{"correct_answer_key":"b"}
ให้กำหนดความเร็วปกติเป็น v กม./ชม. จะได้ว่า
เวลาเมื่อช้าลง = 90/(v–5) และเวลาเดิม = 90/v
ต่างกัน 0.25 ชั่วโมง จึงได้สมการ
90/(v–5) – 90/v = 0.25
แก้สมการได้ v = 45 กม./ชม.
{"correct_answer_key":"b"}
สมมติความเร็วปกติ = v กม./ชม.
เวลาปกติ = 90/v ชม.
เวลาเมื่อช้าลง = 90/(v−5) ชม.
ต่างกัน 0.25 ชม. ⇒ 90/(v−5) − 90/v = 0.25
แก้สมการได้ v = 45 กม./ชม.
{"correct_answer_key":"b"}
ให้ความเร็วปกติของรถไฟเป็น ( x ) กิโลเมตรต่อชั่วโมง และความเร็วที่แล่นช้ากว่าปกติเป็น ( x - 5 ) กิโลเมตรต่อชั่วโมง
เวลาที่ใช้ในการเดินทางระยะทาง 90 กิโลเมตร ด้วยความเร็วปกติคือ ( \frac{90}{x} ) ชั่วโมง
เวลาที่ใช้ในการเดินทางระยะทาง 90 กิโลเมตร ด้วยความเร็วที่แล่นช้ากว่าปกติคือ ( \frac{90}{x - 5} ) ชั่วโมง
ตามข้อสอบ รถไฟใช้เวลามากกว่าปกติ 15 นาที ซึ่งเท่ากับ ( \frac{15}{60} = \frac{1}{4} ) ชั่วโมง
ดังนั้น สมการที่เกี่ยวข้องคือ:
[ \frac{90}{x - 5} - \frac{90}{x} = \frac{1}{4} ]
เราจะหาค่า ( x ) โดยแก้สมการนี้:
[ \frac{90x - 90(x - 5)}{x(x - 5)} = \frac{1}{4} ]
[ \frac{90x - 90x + 450}{x(x - 5)} = \frac{1}{4} ]
[ \frac{450}{x(x - 5)} = \frac{1}{4} ]
แก้สมการ:
[ 450 \times 4 = x(x - 5) ]
[ 1800 = x^2 - 5x ]
[ x^2 - 5x - 1800 = 0 ]
ใช้สูตรหาค่าคู่ของสมการสองสัมประสิทธิ์:
[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} ]
โดยที่ ( a = 1 ), ( b = -5 ), ( c = -1800 )
[ x = \frac{-(-5) \pm \sqrt{(-5)^2 - 4 \times 1 \times (-1800)}}{2 \times 1} ]
[ x = \frac{5 \pm \sqrt{25 + 7200}}{2} ]
[ x = \frac{5 \pm \sqrt{7225}}{2} ]
[ x = \frac{5 \pm 85}{2} ]
คำตอบที่เป็นไปได้คือ:
[ x = \frac{90}{2} = 45 \quad \text{หรือ} \quad x = \frac{-80}{2} = -40 ]
เนื่องจากความเร็วไม่สามารถเป็นลบได้ ความเร็วปกติของรถไฟคือ 45 กิโลเมตรต่อชั่วโมง
ดังนั้นคำตอบที่ถูกต้องคือ 45 กิโลเมตรต่อชั่วโมง ซึ่งตรงกับตัวเลือก B
{"correct_answer_key":"b"}
เราสามารถแก้โจทย์ปัญหานี้โดยการตั้งสมการความสัมพันธ์ระหว่างเวลาและความเร็ว:
เวลาที่ใช้ในกรณีปกติคือ: $$ t_{\text{ปกติ}} = \frac{90}{v} , \text{ชั่วโมง} $$
หากความเร็วลดลง 5 กิโลเมตรต่อชั่วโมง (คือ $ v - 5 $): $$ t_{\text{ช้า}} = \frac{90}{v - 5} , \text{ชั่วโมง} $$
โจทย์บอกว่าเวลาที่ใช้ในกรณีช้ากว่าปกติจะมากกว่าปกติ 15 นาที (หรือ 0.25 ชั่วโมง): $$ t_{\text{ช้า}} - t_{\text{ปกติ}} = 0.25 $$
แทนค่า $ t_{\text{ช้า}} $ และ $ t_{\text{ปกติ}} $: $$ \frac{90}{v - 5} - \frac{90}{v} = 0.25 $$
หาค่าร่วมของเศษส่วน: $$ \frac{90v - 90(v - 5)}{v(v - 5)} = 0.25 $$
จัดรูป: $$ \frac{90v - 90v + 450}{v(v - 5)} = 0.25 $$
$$ \frac{450}{v(v - 5)} = 0.25 $$
$$ 450 = 0.25v^2 - 1.25v $$
คูณตลอดด้วย 4 เพื่อกำจัดทศนิยม: $$ 1800 = v^2 - 5v $$
จัดสมการให้เป็นรูปมาตรฐาน: $$ v^2 - 5v - 1800 = 0 $$
ใช้สูตรกำลังสอง ($ ax^2 + bx + c = 0 $): $$ v = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} $$
ในกรณีนี้:
$$ v = \frac{-(-5) \pm \sqrt{(-5)^2 - 4(1)(-1800)}}{2(1)} $$
$$ v = \frac{5 \pm \sqrt{25 + 7200}}{2} $$
$$ v = \frac{5 \pm \sqrt{7225}}{2} $$
$$ v = \frac{5 \pm 85}{2} $$
ดังนั้น $ v = 45 $ กิโลเมตรต่อชั่วโมง
ความเร็วปกติของรถไฟคือ 45 กิโลเมตรต่อชั่วโมง ซึ่งตรงกับตัวเลือก B
{"correct_answer_key":"b"}
Okay, let's tackle this problem step by step. The question is about finding the normal speed of a train. The problem states that if the train runs 5 km/h slower than usual, it takes 15 minutes longer to cover 90 km. We need to find the normal speed.
First, I need to recall the basic formula: time = distance / speed. Let's denote the normal speed as 'v' km/h. Under normal circumstances, the time taken to cover 90 km would be 90/v hours.
When the train is going slower, its speed is (v - 5) km/h. The time taken in this case would be 90/(v - 5) hours. The problem says this slower journey takes 15 minutes longer. Since 15 minutes is 0.25 hours, the difference between the two times is 0.25 hours.
So, setting up the equation: 90/(v - 5) - 90/v = 0.25.
Now, I need to solve this equation for v. Let's do the algebra step by step.
First, find a common denominator for the left side, which would be v(v - 5). So:
[90v - 90(v - 5)] / [v(v - 5)] = 0.25
Simplify the numerator:
90v - 90v + 450 = 450
So the equation becomes:
450 / [v(v - 5)] = 0.25
Multiply both sides by v(v - 5):
450 = 0.25 * v(v - 5)
Multiply both sides by 4 to eliminate the decimal:
1800 = v(v - 5)
Expanding the right side:
v² -5v - 1800 = 0
Now, solving this quadratic equation. Let's use the quadratic formula: v = [5 ± sqrt(25 + 7200)] / 2. Wait, discriminant is 25 + 4*1800. Let me check again.
Wait, the quadratic is v² -5v -1800 =0. So a=1, b=-5, c=-1800.
Discriminant D = b² -4ac = 25 -4(1)(-1800) = 25 +7200 = 7225.
Square root of 7225 is 85, since 85² is 7225.
So, v = [5 ±85]/2. We can ignore the negative solution because speed can't be negative.
So, v = (5 +85)/2 = 90/2 =45.
Wait, but 45 is option b. But let me check again because sometimes when setting up equations, maybe I made a mistake.
Wait, let's verify with v=45.
Normal time: 90/45 =2 hours.
Slower speed:40 km/h. Time:90/40=2.25 hours. The difference is 0.25 hours, which is 15 minutes. That matches.
Hmm, so the answer should be 45 km/h, which is option b. But wait, the options given are a:40, b:45, c:48, d:50, e:55. So the correct answer is b.
Wait, but let me check again the quadratic equation steps because sometimes calculation errors happen.
Original equation after multiplying both sides by 4:
1800 = v(v-5)
So v² -5v -1800 =0.
Solutions: v = [5 ± sqrt(25 +7200)]/2.
Yes, sqrt(7225)=85. So (5+85)/2=90/2=45.
Yes, that's correct. So the answer is B.
But wait, the user might have a different approach. Let me think again.
Alternatively, maybe I made a mistake in setting up the equation. Let me check the time difference again.
The problem says when it's slower, the time is longer by 15 minutes (0.25 hours). So the equation is correct: (time at slower speed) - (normal time) = 0.25.
Yes, so 90/(v-5) -90/v =0.25.
So the setup is correct.
Therefore, the answer is B)45 km/h.
The problem involves finding the train's normal speed. Let ( v ) be the normal speed (in km/h). Under normal conditions, the time to travel 90 km is ( \frac{90}{v} ) hours. When slowed by 5 km/h, the time becomes ( \frac{90}{v-5} ) hours. The difference in time is 15 minutes (0.25 hours), leading to the equation:
[ \frac{90}{v-5} - \frac{90}{v} = 0.25 ]
Solving this, we find ( v = 45 ) km/h. Verification confirms this: normal time is 2 hours, slower time is 2.25 hours (difference of 0.25 hours). Thus, the correct answer is b.
{"correct_answer_key":"b"}
ให้ความเร็วปกติของรถไฟเป็น x กิโลเมตรต่อชั่วโมง
เวลาที่ใช้ปกติในการเดินทาง 90 กิโลเมตร = 90/x ชั่วโมง
ความเร็วของรถไฟเมื่อแล่นช้ากว่าปกติ 5 กิโลเมตรต่อชั่วโมง = (x - 5) กิโลเมตรต่อชั่วโมง
เวลาที่ใช้เมื่อแล่นช้ากว่าปกติ = 90/(x - 5) ชั่วโมง
เวลาที่ใช้เมื่อแล่นช้ากว่าปกติมากกว่าเวลาที่ใช้ปกติ = 15 นาที = 15/60 = 0.25 ชั่วโมง
ดังนั้น 90/(x - 5) - 90/x = 0.25
เราสามารถแก้สมการนี้ได้โดยการหาค่า x
90x - 90(x - 5) = 0.25x(x - 5)
90x - 90x + 450 = 0.25x^2 - 1.25x
450 = 0.25x^2 - 1.25x
0.25x^2 - 1.25x - 450 = 0
x^2 - 5x - 1800 = 0
(x - 45)(x + 40) = 0
x = 45 หรือ x = -40
เนื่องจากความเร็วไม่สามารถเป็นลบได้ ดังนั้นความเร็วปกติของรถไฟคือ 45 กิโลเมตรต่อชั่วโมง
{"correct_answer_key":"b"}
Alright! Let's tackle this problem step by step. The question is about a train that is moving slower than usual, and we need to find its normal speed.
First, let's parse the information given. The train is going 5 km/h slower than usual. The distance it covers is 90 kilometers. Because of this slower speed, the journey takes an extra 15 minutes compared to the usual time. Our goal is to find the normal speed of the train in km/h.
I know that time, speed, and distance are related by the formula: time = distance / speed. Since the train is slower, it will take more time to cover the same distance. The difference in time is 15 minutes, which I should convert into hours because the speed is in km/h. 15 minutes is 0.25 hours (since 15 divided by 60 equals 0.25).
Let me denote the normal speed of the train as S km/h. When the train slows down by 5 km/h, its speed becomes (S - 5) km/h.
The time taken at the normal speed would be 90 / S hours. The time taken at the slower speed would be 90 / (S - 5) hours. The difference between these two times is 0.25 hours. So, I can set up the equation:
90 / (S - 5) - 90 / S = 0.25
Now, I need to solve this equation for S. To do that, I'll find a common denominator for the fractions on the left side. The common denominator would be S(S - 5). Multiplying each term appropriately, the equation becomes:
90S - 90(S - 5) = 0.25 * S(S - 5)
Simplifying the left side: 90S - 90S + 450 = 0.25S(S - 5)
This simplifies further to: 450 = 0.25S(S - 5)
To eliminate the decimal, I can multiply both sides by 4: 1800 = S(S - 5)
Expanding the right side: 1800 = S² - 5S
Rearranging the equation into standard quadratic form: S² - 5S - 1800 = 0
Now, I need to solve this quadratic equation. I can use the quadratic formula: S = [-b ± √(b² - 4ac)] / (2a), where a = 1, b = -5, and c = -1800.
Calculating the discriminant: b² - 4ac = (-5)² - 41(-1800) = 25 + 7200 = 7225
Taking the square root of 7225 gives 85. Therefore, the solutions are:
S = [5 ± 85] / 2
This gives two possible solutions: (5 + 85)/2 = 90/2 = 45 and (5 - 85)/2 = -80/2 = -40. Since speed cannot be negative, we discard -40.
Thus, the normal speed of the train is 45 km/h.
{"correct_answer_key":"b"}